Calcnl des numérateurs. - Pour déterminer An

Aa-i, ..., Al, on peut suivre la marche indiquée au § 250

ou employer la méthode des coefficients indéterminés. Le procédé suivant est préférable lorsque a est quelque peu grand.

Posons

A^) Aq Aa-i A, fa(x)

(jc-û)aFi(;c) (jc-a)« (x-fl)»-^ x-a F,{x)

nous aurons l'identité

Ax) = AaF,(x) +Aa-i(x-a)F,ix) + ...

+ Ai(x-a)«-iFi(x) + (x- a)<^fa (x). (10)

Si Ton y fait x = a, on trouve i{a) = AaFi(a) ; d'où Aa. En dérivant les deux membres de (10), on obtient

f{x)=kaf\{x)+ka-^f^(x) + ka-^KX-a)f\{x) + ,.., (11)

égalité qui, pour x = a, se réduit à

/(a)=AaF\(a) + Aa-iF,(û);

on en conclut Aq-i. Dérivant ensuite les deux membres de (11) et faisant x = a^ on trouve Aa-2. On continue ainsi jusqu'à la dérivée d'ordre a — 1. Dans ces calculs, on peut négliger les dérivées du dernier terme de(lO); car elles s'annulent pour x=a.

253. Voici une autre méthode. Multiplions les deux membres de l'égalité (9) par(x — û)«:

— — = Aa + Aa-i(x-fl) + ... + Ai(x-a)«-^ + — — ,

Fi (x) F, (x)

et remplaçons x — a par A :

— ^^Aq + Aa-iA + Aa-2A'-' + ... + AiA«-^+ ,

D'autre part, développons /(a + A) et Fi(ûr + A) suivant les puissances croissantes de A, et effectuons la division du premier polynôme par le second jusqu'à ce qu'on trouve au quotient un terme en A«- * ; le quotient complet de la division est de la forme

Qo + QiA + Q,A2 -f ... -t Qa-iA«-» + f^P+h)'

Neubero. - Algèbre. 16

Les nombres Q„, Q„ Qj, .... Qa-i sont les valeurs cherchées de Aq, t\(i — I, ..., A].