Application. — Décomposer en fractions simples

5jc* + 5jf — 6 {X — l)^ (x-j-l) x'

Posons 5x» + 5je-6 A , B , C , D , E .,..

(jc— l)*(x+l)jc (JC-1)3 ' {x—\y ' JC-1 ' x+\

cette égalité donne

5x^+5x—6==A{x^+x)+B{x—Ux^+x)+C{x—\f{x^+x]]

+ (x-ip[Dx+E(x+l)l.

Remplaçons x successivement par 1, — 1, ; il vient

Si l'on dérive deux fois de suite l'égalité (13), on obtient

+ C[2(x — 1 ) (jf' + X) + (jf- 1 )' (2x + 1 )] + etc. 10=2A + B[2x+ 1 + 2x+ 1 + etc.] + C[2(x'= -]-x} + etc.] + etc.

Faisons x = 1 ; en prévision de cette hypothèse, nous n'avons pas écrit certains termes contenant le facteur x — 1. Il vient

3A + 2B, 10 = 2A + 6Bm 4C;

d'où B =^ |, C =-- - ^.

Pour déterminer A, B, C on peut aussi multiplier l'égalité (12) par (x — 1)3 :

remplaçant jc — 1 par h on trouve

_____ .. A + BA + Or + ....

Effectuant la division indiquée on obtient pour quotient

Donc A - 2, B = ^, c = — =/-•

Cas des facteurs imaginaires.

255. Facteurs simples. — Dans ce qui précède, les racines de F[x) peuvent être réelles ou imaginaires. Si les coefficients de /(x) et F{x) sont réels, les racines imaginaires de F{x) sont conjuguées deux à deux et on peut modifier la

décomposition de 'Qr^ de manière que les imaginaires en

disparaissent.

Soit a -\- pi une racine simple de F(jc) ; la décomposition

f(x\ de ppr comprend une partie de la forme

X — a — pi X — a + pi On sait (248) que

.AaJJi) fia - pi)

"^ - F(a-\-pi)' ^ - r(a-pi)'

Si Ton réduit A à la forme ^ + vi, la valeur de B sera /i — vi et l'expression (14) devient

fji-\-vi fi — vi ix(x — a) —vp

x — a — pi ' x — a-\-pi (x — af ^ ^

Donc, la somme des fractious simples correspondant aux facteurs conjugués x — a — /5/, x — a -^ pi est une fraction qui a pour numérateur un binôme du premier degré, à coefficients réels, et pour dénominateur (x — a)^ + P^^

256. Fadeurs multiples. — Si a + pi est p fois racine de F(x), a — pi est également p fois racine, et

F(x) =-- [(X - af \ P'Yf,(xy

On a identiquement

/(x) A;c + B . /x) - ( Ax+ B)F. (x)

Déterminons A et B par la condition q\ie/{x) — (Ajf+B)F,(x) soit divisible par (x — a)« + ^. Si /i(x) est le quotient et Rx + S le reste, nous posons R = 0, S = ; ces équations détermineront les valeurs de A et B. L'égalité (15) devient

Ax) A;c + B A(jr)

[(x-a)^+/?»pF,(x) [{x-ay-\-n [(x-ar-\-fin'-'FM)

Opérons de la même manière sur la dernière fraction : /.x) A.x + Bi MX)

Et ainsi de suite. En résumé, on trouve

Ax) Ax + B A.x + B, .

F{a;) [(x-ar-\-n' "^ [(x-ar + z?^]'^' "^ ■■■ '

. Ap iX + B,. /p(jr)

"^ (x — aY + /î* "^" F,(X)'