Calcul des coefficients. — - L'égalité (16), donne

/(;c) = (Aa; + B)F,(jc)+{A,x+B,) [{x-a)^ + fi^F,{x)-\-... \ +(A^.x^-Bp,)[(x-a)^+/î=l'-T,(x)+[(x-a)"+/î']%(x). f '

Si l'on fait x = a + fit, il vient

/(a + fil) = [Aa + Afii + B]F,{a + fil) ;

égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres, on obtient deux équations qui font connaître A et B. Dérivant les deux membres de (17) et faisant de nouveau x ^ a + fil, on trouve une équation en A, B, A„ B, qui se décompose en deux autres servant à déterminer à A, et B,. Et ainsi de suite jusqu'à la dérivée d'ordre (/; — 1 ). Dans le calcul des dérivées, on peut négliger le terme [(X - «•)» + fi^VMx).

25S. Application. — Décomposer en fractions simples

Posons x^ + x+l A , B ^ Cx +D . Ex + F

(a:2— l)(;f2 + l)2 x+l ' x—l ' {x^+iy ' x* + 1 '

d'où^^+A:+l=A(Ar-l)(x« + ir+B(x+l)(x«+ir 1 ..«. + (Cx + D)(x^-l) + (E>r+F)(x^-l)(x*+l). f ^'""^

Faisant successivement x - — 1, + 1, /, on obtient

1 = — 8A, 3 = 88, / = — 2{Ci + D) ;

d'où A = — ^, B = |, C = — ^, D = 0.

Dérivons l'égalité (18) par rapport à x et remplaçons ensuite x par /. Dans le second membre, on peut négliger de dériver les termes en x- + 1 et écrire simplement

2x+l=.. + C(x- — l)+2x(Cx + D) + 2x(Ex4-|F)(x«— 1)+..

On en tire E^ — -j, F=- — •^- La décomposition cherchée est donc

8(x+ 1) 8(x— 1) l(x2 + ly 4(x2 + 1)

Exercices et notes.

1. Si a, b, c, ... /, désignent m nombres différents, ti /[x) une fonction entière du degré m - 2 tout au plus, on a

On pose

FU) - {x — a){x — b),..{x — t)/^ ^ S ^

d'où /(x) = :SA(x — b) (x— c)., (x — /).

Identifiant les coefficients de x^-^, on trouve A + B + ... L = 0. Mais on a (248) A = ^ , etc.

En particulier, si yei < m - 1,