Construire les imaginaires

z + z* } — ,- z + s^ -|- z" mz + nz*

i 1/ zz ■ ' '

m ti n étant des nombres réels.

10. Si 97 est un angle variable, le point représentatif de l'imaginaire a cos ip 4" ib sin 99 décrit une ellipse.

Trouver la courbe qui correspond à l'imaginaire

z = atg (p + ib cotg ç>.

Même question pour l'imaginaire

z = a cos* q) + bi sin- vs

q? cttp étant deux angles variables liés par la relation

sin2 (p \~ 2 cos* y) = -y

11. Soient Z, Z' les points qui représentent les imaginaires z, z\ A toute équation 2' =-- f (z) correspond une construction déterminée du point Z' au moyen du point Z ; cette équation définit une transformation.

Etudier les transformations suivantes où Oj b désignent des quantités réelles, et a, a\ fi des quantités imaginaires :

z' = z ~\- a, Z* = z + bif z" = z \ a (translation) ;

z' = zlf Z* = Z (COS 6 + ^* Sin O) (rotation) ;

z' = az (homothétie) ;

z* = {a + bi)z (similitude); zz' = a, zz* = bif ZZ' = a (inversion symétrique) ; ZZ* — a^Z — az -{- P == (inversion symétrique à deux pôles).

12. Le produit de plusieurs nombres de la forme a* + Xb^ est un

nombre de la même forme.

(EULER. Bâle, 1707. - Pétersbourg, 1783).

13. Le produit de plusieurs nombres de la forme a^ -\- b^ + C^ ~\- d^ est de la même forme. (EULER.)

Car (a2 + b^ + c^ + d^) (a'' 4 b'^ ^ r'* + d'^) = (aa! + bb' -\- cd + ddy + {fib' — ba! — cd + ddy + (o^ — cà! \ bd — dby + {ad — dd — bd + cby.

Si l'on remplace b, c, d, b\ (f, d' par

biT, d'il] d^i:ir, bix c'n, df^m,

on obtient un théorème plus général, dû à Lagrange (Turin 1736, Paris 1803).

14. Exprimer cos 7 en fonction de cos 6, et sin 7 en fonction de

sin 6 (28).