AX, A
A—tto
A-Uo
Les schémas suivants indiquent la formation de ces tableaux :
Exemple. — Former le tableau des différences des quantités
On trouve
261. Remarque. — Désignons par T un tableau de différences successives, pris sous la seconde forme, et par T le tableau qu'on déduit de T en supprimant les p premières lignes et les q premières colonnes. T' est encore un tableau de différences successives : sa seconde colonne renferme les différences, premières des termes de sa première colonne, sa troisième colonne les différences deuxièmes des mêmes termes, et ainsi de suite. Les notations des deux tableaux T et T' deviennent identiques, si Ton ajoute p unités à l'indice de u et q unités à l'exposant de A dans chaque élément de T. Or, une formule écrite pour le tableau T doit s'appliquer aussi au tableau T', les éléments de T étant remplacés par leurs homologues de T' ; par conséquent, une formule générale relative à un tableau de différences successives subsiste encore, lorsqu'on augmente tous les indices des u d'un entier quelconque p et tous les exposants des A d'un entier quelconque q.
Les éléments de la première colonne de T, c'est-à-dire ^^} ^u ^3; ..• sont censés être remplacés par A'^^o; ^^«u ^^^%) - Cette remarque nous sera fort utile dans la suite.
Différences des fonctions entières.
Le calcul des différences est souvent appliqué aux valeurs successives «o, u^, //g, ... que prend une fonction de x quand on donne à x des valeurs en progression arithmétique.
262. Théorème. — 5/, dans un polynôme entier en \ de degré m, on remplace x par des nombres en progression arithmétique^ les différences m^ des résultats de substitution sont constantes.
Soit la fonction F(jc) = Ao^f™ + A,x^-^ + ... + A^.
Désignons les quantités
F(jc), F(a: + A), F(a: + 2A), ..., Y{x^nh)
par «0, "i, ^, .", «n.
Nous aurons, par le théorème de Taylor,
A//o -= F(x + A) - F(x) ^ AF(x) + f^ r\x) + ... + -^ F(™) (x) ;
comme les polynômes F'(x), F"(x),... sont des degrés /n—1, /7/— 2, ..., A/^o s'exprime par un polynôme de degré /n— 1, dont le terme de degré m — 1 est mk^hx^~^] ce terme s'obtient donc en multipliant par h la dérivée du premier terme de F(x).
En désignant F(x4-A) — F(x) par Fi(x), on a évidemment
A««o = Fi(^+A)-Fi(x),
Fifjc) étant de degré m— \, ^.^u^, est un polynôme entier de degré m — 2 dont le premier terme s'obtient en multipliant par h la dérivée du premier terme mk^hx^'^ de Fi(x) ; le premier terme de A'^o est donc m(m — \)k,^h^^~^. De même le premier terme de A^^o est m(m — 1) (a/î — 2)AoA^3c°»"^, et ainsi de suite. Finalement,
AX = A°^ P"'^^;) = m(m - 1) ... Zl.AoA"^, valeur indépendante de x; ce qui démontre le théorème.
263. Application. - Substituer des nombres entiers consécutifs dans une fonction entière.
Pour fixer les idées, soit à chercher les valeurs de
F(x) = 2x3 — x« + 4x + 9 pour X = — 4, — 3, ..., 3, 4.
Le polynôme étant du 3^ degré, les différences 3^ des valeurs qu'il prend pour des valeurs de x en progression arithmétique sont constantes, égales au produit de la dérivée troisième du terme initial de F(x) par le cube de la raison de la progression ; ces différences ont donc pour valeur constante 12. Cherchons directement les résultats de substitution pour trois valeurs consécutives de x; par exemple
Il est maintenant facile de dresser le tableau suivant:
On inscrit d'abord, dans la colonne //, les valeurs F(— 1) = 2, F(0) = 9, F(l) = 14 ; puis, dans la colonne Atf, leurs différences premières 7, 5; dans la colonne A^w, leur différence seconde — 2. Tous les nombres de la dernière colonne sont égaux à 12. Pour remplir les autres colonnes, on a recours au schéma
, 6 = fl-|-r, a = b
10, 10+12 - 22, 22+12- 34 14, — 14 — 12 = -26, -26 — 12--38,etc.
Formules des différences.
264. Problème I. — Connaissant le premier terme Uq (Tune suite, ainsi que ses différences successives, Juq, ^'Uq,... ^"u^, calculer les termes Ui, Uj, ... Un.
D'après la définition même des différences, on a
puis, en ajoutant membre à membre,
«2 --= ^1 + A^i -= Uq + 2Atf + ^^i^Q ; (2)
et en augmentant d'une unité les exposants.de A (261)
Attg =-= A^o + 2A2/io + ^s'^o- Mais u^ + Az/2 = «3 ; donc
^3 = «^0 + 3Atto + 3A*tfo + ^^^^0- Sans aller plus loin, on prévoit la formule suivante:
Un =-- Uo + QA^o + C5A2«o + ... + CîA"-»Wo + A" Uo. (3)
Pour montrer qu'elle est générale, supposons-la établie pour la suite Uq, u^^ u^, ... Un . Si l'on introduit un nouveau terme Wn+i, on pourra appliquer la formule (3) à la suite A/io, A//i, ..., A//n , ce qui donne
Aun = Auo + C[A%, + C^A^u, + .. + Qz!" ^o 4 ^"+ï//o. (4) Or //n+i = //n + ^«n; douc à cause de (3) et (4),
en remarquant que Cp + Cp, -- C^^\ on voit que
«„4, =//o+Cî+>^//o+c;+^ A%, + ... + cr^zin//o+j"+v
La loi est donc générale.
On peut écrire l'équation (3) sous la forme symbolique
en convenant de développer (14 A)^ comme si A représentait un nombre.
265. Problème II. — Etant donnée la suite Uo, Ui, ..., Uu, calculer les différences zlUo, A-\Xç,^ ..., J"Uo.
Par définition,
Auq =- î/i - î/o, Av^ ^Ui - Vu ^^Uo = Aui - Auo ; il en résulte
A^Uq = (z/g - î/j) - (z/i - z/o) = a/2 - 22/i + z/o.
Augmentant d'une unité les indices de u (261), on aura
A^^i = //y — 2Uo 4- i^\ ;
d'où, en retranchant A^^o de^A^w»,
A^^o = ^3 — 3tf.> I 3//, — tfo.
Ces résultats font soupçonner la formule générale
A°^o = ^° - C?r/„, 4 Gw„, — ... + (- 1)°^,. (5)
Supposons-la établie pour les n premières différences de tfo- Si Ton introduit un nouveau terme Un^\, on peut écrire en ajoutant une unité aux indices de ^ (261) :
A°w, = //»+' — Cf^„+ Cî^o-i — ... + (— l)°«i. Mais A"+i/i„ --- A°//, — AVo ; par conséquent
A«+ï//o^/^„+,.-(Cf+lK+(C?+CfK-,-... + (-l)"+>//o = //„4., — G;+iWo+ C;+^/i„+, - ... + (- l)"^*^o.
Or la formule (5) est vérifiée par /z -= 2, donc elle est vraie pour /z = 3," 4, ... ; elle est donc générale.
On écrit la formule (5) symboliquement ainsi:
AX -{u- \Y,
en convenant de remplacer u? par u^ et de prendre pour dernier terme du développement ( — l)°tfo.
266. Applications. — I. Appliquons la formule (5) à la suite F(3c), f(x + h\ F(x + 2A), ... F(jc + nh\ ?(x) désignant le polynôme AoX"" + Ai^c"""* + •••• '• vient
A^F(x) ^ f(x + /zA) — Cf F(x+/î— lA) + C?F(x y n — 2h)—...
Sx n = nif cette égalité donne
m ! AoA^"- f(x + mh)—C^?(x +/w — 1A)+ ... + (— irF(x). Si /i > /w, on a A°F(x) = 0, et
F(x + ;zA)-GF(x+/i~lA) + GF(x+/z-2A)+...+(-l)"F(x)=0
Réduisons F{x) à x^^ et faisons x ^ \^ h ^ \ ; les deux dernières formules deviennent
(m + ir— y/w°^+^^fciV — ir — ... -h (- l)^ = m\,
{n-^ir-jn^+ ''^''~^\ n-\r-,..+ (- 1)™= 0; (6) l'égalité (6) suppose n^ m.
Interpolation.
