Définition. — Supposons connues les valeurs

d'une fonction w, pour les valeurs

^Ot *ii *^2f • • • I "^n

de la variable x. Le problème de l'interpolation consiste à déduire, des couples de valeurs

{Uo,Xo), (U,,X,), {U^,X^\ ..., (Un.Xn), (1)

la valeur de u qui correspond à une valeur quelconque de x.

Ce problème est déterminé lorsque u est une fonction entière de degré n. En effet, soit

^ = Ao + AiX + AgX^' + ... + A„x"; (2)

si l'on exprime que les valeurs (1) vérifient l'équation (2), on obtient n + 1 égalités de condition, d'où l'on peut tirer les valeurs des n + 1 inconnues Ao, Ai, ..., An . (Voir § 268).

Plus généralement, le problème est déterminé, si u est une fonction de forme connue et contenant n -\- 1 paramètres indéterminés.

Ordinairement la forme de la fonction u est inconnue et, par suite, le problème de l'interpolation admet une infinité de solutions. Dans ce cas ou encore lorsque le calcul des valeurs numériques de la fonction présente des difficultés, on suppose que la fonction u soit développable en série suivant les puissances croissantes de x et que le développement soit assez convergent pour qu'on puisse le réduire à ses n -\- \ premiers termes. Cette hypothèse donne des résultats suffisamment exacts pour les applications, lorsque

les nombres Xq, Xi, x^, ..., x„ sont assez rapprochés et que la valeur de x pour laquelle on doit chercher la valeur correspondante de u diffère peu de l'un des nombres

268. Formule de Lagrange. - D'après ce qui précède, il s'agit de déterminer la fonction entière

u = Ao + kyx 4 AjX» + ... + A„x" (3)

par la condition que pour les valeurs x = Xo, x,, x^, ..., Xn, elle prenne respectivement les valeurs //o, u^^ u^, ..., «„.

Les coefficients Ao, Aj, ..., An résultent des égalités

^1 == Ao + AiXi + AgX^ + ... + AflXj, r^v

Un — Ao + AjXn "T AgX^ -|- ... 4" AnXj|.

Le déterminant des coefficients des inconnues A^, A^ ... est le déterminant de Vandermonde (43) des quantités Xq, Xi,..., Xni

Comme il est égal au produit de toutes les différences des nombres Xq, x,, ..., Xn pris deux à deux, il n'est pas nul ; donc le système (4) admet une solution déterminée. Pour obtenir u^ exprimons que les équations (3) et (4) sont compatibles; il vient (75)

JC"

Xo

Un

En développant le déterminant (5) suivant les éléments de la Ire colonne, la solution prend la forme

u = Po«o + Pi^i + P2«2 + ... + Pn «n ; (6)

Po, Pi, ..., Pn désignent des fonctions entières de x, de degré n, et indépendantes des quantités Vq, 2/1, ...; Un .

Ces fonctions s'obtiennent aisément par la méthode suivante. Le second membre de (6) doit se réduire à Vq pour x -= Xq; donc pour x = x^ les polynômes P,, P2 ... Pn s'annulent et Po prend la valeur 1. De même pour x - x^, u se réduit à u^ ; donc Po, P2, P3, ..., Pfi s'annulent et Pi prend la valeur 1 ; etc.

D'après cela, le polynôme Po étant de degré n et s'annulant pour X = Xi, Xg, ..., Xn , on a

Po = Bo (X — Xi) (X — Xg) ... (X — x„ ),

Bo étant une constante ; comme Po =^ 1 pour x == Xo, on a

1 = Do(Xo XJ (Xq Xg) ... (Xo — -^n);

et par suite

(x-x,) (X-Xg)... (x-x„)

Pn =

(X0 Xj) (Xo Xg) ... (Xq Xn )

On obtient de même Pi, Pg, ... La fonction cherchée est donc

(x-Xi) (X-X2)...(X-X„)

vu

(Xq — Xj ) (Xo Xg) ... (Xo Xn ) (-^-^0) (X-Xj)... (X-Xn)

(Xj Xy) yXx Xj) ... ( X| Xn )

(X-Xo) (X-Xi) ... (X-X„i)

(^n -A:o)(X„ -Xi)...(x" -Xn-i)

Remarque. — Si l'on pose

F(x) = (X — Xo) (X — Xi) ... (x — x„ ), la formule (7) peut être écrite ainsi :

FM .. . FM .. . . F(x)

"" (x-x,)F(Xo)''« ' (x-x,)f\x,)

lin-

Elle résulte aussf de la décomposition dCp^rcn fractions

simples (248).

269. Première formule de Newton. — Elle s'applique seulement au cas où les valeurs

^0; ^if ^2» •••; ^n

correspondent à des valeurs de x en progression arithmétique

^01 -^0 + K -^0 + 2A, ..., Xo + nh. (9)

Formons le tableau des différences successives de la suite (8) ; nous aurons (264)

^i ^ Wo + Az/o, z/g = 2/o + 2A2/o + AH/o, ..., 2/n = z/o + j^^o + 12 ^ ^0 + .-. + Y A"-ïz/o + A«z/o. Toutes ces valeurs seront données par la formule générale

+ rxT^ ^ ^°'

pourvu que p soit un nombre, entier non supérieur à n. En effet, si /? <] /i, le développement s'arrête de lui-même au terme en Ap2/„, les termes suivants renfermant le facteur nul p—p.

Cela posé, si Ton élimine p entre la relation (10) et régalité X — x„ -|- ph, et qu'on remplace u^ par 2/, on trouve

X— x\ rx—x,