Application. — Trouver le logarithme du nombre
Prenons dans les tables de Callet les logarithmes des nombres 3,12, 3,13, 3,14, 3,15 ... et formons le tableau de leurs différences:
La différence 3e étant sensiblement constante, log x se comporte dans l'intervalle (3, 12 — 3, 16) comme un polynôme du 3e degré (262) et on peut employer la formule (10) en faisant
n = 3, Xo - 3, 12, h = 0,01,/? -
Ecrivons donc
en prenant
v^^ = log 3, 12 = 0,494 154 594 0, Az/„ = 0,001 389 743 5, A2tf„ = —0,000 004 432 9, ^'u, = 0, 000 000 028 0,
ce qui donne, tous calculs faits,
log n = 0,497 149 872 7.
272. Seconde formule de Newton. — Newton a donné une seconde formule interpolatrice, qui s'applique à des valeurs quelconques de x et qui est plus pratique que la formule de Lagrange.
Pour fixer les idées, supposons connus quatre systèmes de valeurs (Xo, z/»); (Xi, 2/,), (^2, Uz) (X3, 2/3) des variables x, y. Nous prenons pour u la fonction entière du 3e degré
z/ = A + B(a;-Xo) + C(x-Xo)(x-x,) + D(a:-Xo)(x-Xi) (x-Xg).
A, B, Q D sont déterminés par les égalités
2/i=A + B(Xi— Xo),
2/2 = A+B(x2 — j:o) + C(x, -Xo) (Xj,— Xi),
Z/3 = A+B(X3-Xo) + C(X8-Xi)(X3-X2) + D(X3-Xo)(X3-Xi)(X3-X2).
La première égalité détermine A. Si on la soustrait des autres et qu'on divise ensuite respectivement par x^ — Xo, Xg — Xo, X3 — Xq, il vient
Xi Xo
X2 Xq
^==B + C(X3-Xi)+D(x3-x,)(x3-x,).
Désignons les premiers membres de ces équations par y\f y' Il w'3. On a B = w'i, et si on soustrait la première équation des autres et qu'on divise les résultats par x^ — Xi,
Jf3-
- Xj, on obtient
X2 Xi
X3 Xj
Représentons les premiers membres de ces équations par li^y z/s'. Si nous éliminons C, nous trouvons
X9 Xa
soit i/à" le premier membre de cette égalité. La formule cherchée sera
Z/ = 2/o + V\ [X—X^ + Z/;'(X— Xo) (X— JC, ) + Î/;"(X— Xo)(X— Xj) (X— X,).
Pour calculer A, B, C, ..., on peut adopter la disposition suivante :
Jfo
Wo
Wl
Wî
Les quantités 2/\, z/'g, .•., «/"g, portent le nom de différences
divisées] chacune d'elles s'obtient en divisant la différence
entre le terme qui la surmonte dans la ligne précédente et
le premier terme de cette ligne, par la différence des valeurs
Il II
correspondantes de x; par exemple, 2/4" = -^ i-
Pour abréger le calcul de 2/, on peut suivre une méthode analogue à celle qui sert à calculer rapidement la valeur numérique d'un polynôme (116). Ce procédé est indiqué ci-dessous pour la fonction interpolatrice du troisième degré :
v = v, + (x-x,){v\ + (X - x,)[vi + (X - x,)2/;"] }.
Ainsi, on multiplie z/g' par x — Xg et Ton ajoute v^ au produit, etc.
Application de la théorie des différences a la résolution des équations.
273. Soit à résoudre l'équation à coefficients numériques réels
F(x) = AoX^ + Aix"-* + ... + A.n = 0.
Pour séparer les racines, on substitue à x des nombres compris entre les limites des racines. On facilite les calculs en substituant (m + \) nombres équidistants,
^0, -^0 + A, Xo + 2A, ..., Xo + mh,
et en formant le tableau des différences des valeurs correspondantes,
I/o» ^It ^2} •••> ^m;
de F(x); de simples additions ou soustractions font alors trouver
F(Xo + /w + lA), F(Xo-|-/w+2/r), .., F(Xo— A). F(Xo — 2A)....
