D'après la première formule d'interpolation de Newton

l.z ... ffl

Cette formule montre que, si la suite

I/o, Ai/o, ^'Vo, ... , AX (2)

ne présente que des permanences, Xq -{- (m — 1)A est une limite supérieure des racines ; car F(Xq -{- ph) anra un signe constant pour toutes les valeurs de p plus grandes que m — 1. Si la suite (2) ne présente que des variations, tous les termes du second membre de (1) ont le même signe pour les valeurs négatives de p ; par conséquent x^ est une limite inférieure des racines de F(x).

275. Si les substitutions dont il a été question ci-dessus, révèlent Texistence d'une racine dans l'intervalle (x^ -\- phy

Xo + p 4- lA), on déterminera cette racine avec une plus grande approximation en divisant Tintervalle en ii parties égales et en calculant les valeurs de F(x) pour

3^= ^0 +("/?+-') A, Jfo+r)P+-V-..i ^o + (^ + ^^7-K'

à cet effet, on remplacera dans la formule (1)/? successivement par

,1 ,2 , Il — 1

fl fl fl

Si 11^ niy on cherchera par ce procédé les m premiers résultats, et les autres par la méthode des différences (263).

276. Tliéorèine de Choquet. (*j. — Les notations étant les mêmes que ci-dessus (273), écrivons la formule (1) ainsi:

Si nous supposons ;; compris entre et 1, les signes des coefficients de Auq^ A^Uq^ ... sont mis en évidence. Le maximum

^^^^^-4-'- de ^<^-/);^-^> sera^. D'où

/>(! - /» (2 - yP) 1 1

Ml-/>)(2-/>)(3-/>) p{\-p)(2-p) l \ 3 1 1.2.3.4 ^ 1.2.3 ^^IS^ 20'