FONCTIONS SYMÉTRIQUES
277. Définitions. — On nomme fonction symétrique ou vniforme des lettres a, b, „,l toute expression formée avec ces lettres, qui ne change pas quand on permute d'une manière quelconque deux ou un plus grand nombre de ces lettres.
Exemptes, a^ + b^ -\-c^—'iabCf -r- 1 1 1-
Une fonction symétrique entière est nécessairement une fonction symétrique homogène ou la somme de telles fonctions. Par exemple, si une fonction symétrique de a, 6, c, contient le terme 3fl^6, elle comprend nécessairement le polynôme
Sfl^ô + 3û63 + 36^ + 36V + 3^a + Zca^
que Ton représente par 3 2a^b\ si elle contient le terme — 2ab non compris dans les précédents, une seconde partie de cette fonction est
— 2ab — 2bc — 2ca
ou — 2 Hab ; et ainsi de suite.
On nomme fonction symétrique simple, toute fonction symétrique rationnelle, entière et homogène dont chaque terme ne contient qu'une lettre ; telle est la fonction
fl« + ôa + ... + /«,
que nous désignerons par Sa,
Une fonction double est une fonction symétrique, rationnelle, entière et homogène dont chaque terme ne contient que deux lettres ; une fonction triple est celle dont chaque terme contient trois lettres; et ainsi de suite. Par exemple, l'expression
a\b — cY + b\c— ay + r*(û — bf
est la somme de la fonction double Za^b^ et de la fonction triple — 22:a^bc.
Nous verrons que toute fonction symétrique rationnelle des racines d'une équation algébrique s'exprime rationnellement au moyen des coefficients des racines de cette équation^ c'est-à-dire au moyen des fonctions symétriques élémentaires
-Sfl, -Sflô, -Saôr, . . . , abc . . . /.
278. Formules de Newton. — I. Soient a, 6, ... / les racines de
f(x) -^ x^ +p^x'^'' + p^x"^-' + ... + Pm = 0,
en sorte que
r(x) = (a: — a) (jc — b) ... {x— l).
En dérivant cette identité, on obtient
Fw +...+ m
Si l'on effectue la division de F(jc) par x — a, on trouve
-\-Pia
+ Pi
+ Pm-i-
Remplaçons a successivement par b,c, ... l et faisons la somme des résultats ; nous aurons, eu égard à la relation (1),
+ Sî
+ ASi
+ P.Sm-.
-f- yPA
Mais
par suite
Si+PiS, = (m— l);;,,
5m-l + A^m-58 + ;^25m-3 + ... + Pm-\So = Pm-\ ]
ou, après simplification,
Si -t A = 0, •
s, + PiSi -f 2p, = 0, I
Ss + PA + PtSi + Pb - Of ( (2)
De ces formules, on peut tirer 5„ 5^, ... , Sm-i en fonction des coefficients p^ p^^ ... Pm-\ ou inversement, ces coefficients en fonction de s,, s», ... Sm-\.
H. a, 6, . . . , / étant les racines de F(jc) = 0, on a
fl°^ + p,a^'' + p,a^-^ + ... 4 Pm - 0, ^ + p,b^-^ + /^.ô'n-^ + ... + )e;„ = 0,
f" + A/"-^ + /^e/^'-^ + ... + Pu, - 0.
En additionnant ces égalités, on trouve'
d'où Ton déduit s^ en fonction de Sm-i, 5m-2, ...
Multipliant les relations (3) respectivement par a" , 6" , ... /" et faisant la somme des résultats, on obtient
^m+n + P\Sni-\-n—\ -\- PtSm-\-n-2 + ...-]- PrxSn =^ 0, (4)
formule qui servira à calculer successivement Sm+i , 5ni-|.2, ■ .. .
III. Nous supposons /?„, différent de zéro, de manière que l'équation proposée n'a pas de racine nulle.
Pour // = — 1, — 2, — 3,... la formule (4) donne
5ni-i + PiS^-i + ... + Pm-iSo + PraS-i =" 0, Sm-t + PiSm-9 4- ... + Pm-iS-i 4- PmS-^ ="- 0,
Ces équations déterminent s-i, s-„...
On peut obtenir les mêmes quantités 5„ S-«, ... en cherchant les sommmes Si, s., ... relatives à l'équation
)PmX°^ -I Pra-iX"^-' + ". -\- P^X + \ = 0.
Autre solution. - 1. Reprenons l'égalité (1) sous la forme
En effectuant la division de 1 par jc - a on trouve
1 1 , g I fl^
le second membre peut être prolongé indéfiniment et le reste de la division tend vers zéro à mesure que le nombre des termes du quotient croît, pourvu que le module x soit supérieur à celui de a.
Si l'on remplace a successivement par chacune des autres racines et qu'on ajoute ensemble les résultats, on aura
Effectuons la division de F'(x) par F(x), ces deux polynômes étant ordonnés suivant les puissances décroissantes de x ; le quotient aura la forme •
Les coefficients Qi, Q2, ... sont les valeurs cherchées de Si, S2, .. .
II. Effectuons la division de 1 par a — x ; nous aurons en sérif convergente.
pourvu que le module de x soit inférieur à celui de a.
En remplaçant a successivement par chacune des autres racines et en ajoutant les résultats on obtient
FW
Si l'on ordonne F'(x) et F(x) suivant les puissances croissantes de x et qu'on effectue ensuite la division de F'(x) par F(x), le quotient sera de la forme
d'où l'on déduit s i = — 9,, 5 o - — q^y .. ,
279. Fonctions symétriques composées. — I. a, b, ..., / étant les racines de Téquation F(x) -- 0, cherchons la fonction symétrique Ha^b"^, que nous représentons par Sp,q.
A cet effet, multiplions membre à membre, les identités
Sp- flP + ô** + ... + /^, 5,^ = a^ + 6* + ... + /^;
les termes du produit des seconds membres seront de deux espèces: les uns composent la somme 5p+q, les autres la somme 5p,q; donc
Cependant, si p = 9, les termes de la seconde espèce sont égaux deux à deux et la formule cherchée est
ZSp^p = 5 p 5îip.
H. Pour calculer la fonction symétrique 2a!^b^(fj que nous désignons par 5p,q,r, multiplions, membre à membre, les trois identités
Sp=ûP+6P+... H- /P,
Sr -- ûr + *' + ... + Z' .
Le produit des seconds membres renfermera des termes de trois espèces suivant que l'on prend la même lettre dans les trois polynômes ou deux fois la même lettre et une lettre différente ou trois lettres différentes ; ceux de la seconde espèce peuvent encore se partager en trois groupes, suivant que la même lettre est prise dans le premier et le second polynôme, ou dans le second et le troisième, ou dans le premier et le troisième. D'après cela,
^p^q'^r = -^p-l-qH-r "T ^P+q»r "T "^q+r^p + ^p+r.q + 5p,q,r; (1)
en observant que les fonctions doubles ont pour expressions on trouve
5p,q,r = '^p^q^r -^p^q+r '^q-^p-l-r '^r^p+q \ -^p-hq-j-r.
Cette formule doit être modifiée lorsque deux des exposants /?, 9, r ou tous les trois exposants sont égaux.
Supposons d'abord p =^ q / r\ les sommes désignées par 5p4.r,q et Sq4.r,p deviennent égales et la somme désignée tantôt par 5p,q,rse réduit à 2sp,p,r. Donc l'égalité (1) se change en
SpSr ^= 52p-|-r~T~ '52p,r 4" ^p-l-r,p + ^p,p,r.
Si ;; =- ^ = r, on a
•Sp = ^sp + 'J"52p,p + ^'^p,p,P'
ni. En suivant la même marche, on calculera successivement les fonctions du 4e ordre, celles du 5e ordre, etc.
Toutes ces fonctions s'expriment rationnellement par les coefficients de F(x).
Remarque. — Dans ce qui précède, nous avons ramené les fonctions symétriques composées aux fonctions 5i, s,, Sg ... , et ces dernières ont été exprimées par les coefficients de F(jc).
Souvent, il est plus simple de recourir directement aux fonctions élémentaires 2a, Sab^ 2abc, ....
Soit, par exemple, à chercher Sa'^bc, Si l'équation proposée est du troisième degré, on a immédiatement
Za^bc = abc 2a = pap^.
Dans le cas général,
Pi/73 =- Habc. Za -— Sa^bc + labcd^
d'oii Sa^bc = p,p.^ — p^.
