Ordre et poids d'une fonction symétrique entière

Soit Za^b^dY ... une fonction symétrique entière et homogène des racines a, 6. ... , /de l'équation

Elle s'exprime par une fonction entière (p(pi, p„ ...) des coefficients de ¥{x), dont la partie littérale peut se déduire de Vordre et du poids de cette expression.

On appelle ordre d'un terme de ç^CPi,/?*, ...) le nombre de ses facteurs p, et poids la somme de ses indices ; par exemple, l'ordre du terme plplpt est ^ t- r f s, et son poids est ^ + 2r + 3s.

Si, dans cpiPuPi, ..), on remplace p, par — Za, p^ par Zab, etc., on doit obtenir la fonction proposée Za^b^cY .... On en conclut que tous les termes de cpipi^p^. ...) ont le même poids a -^ ^ -{- y + — Car si on multiplie les racines fl, A, ... , / par un même nombre A, la fonction Za^b^cY .•. est

multipliée par A a ^/^+}'-- ; les coefficients p„ p„ ... sont multipliés respectivement par A, X'\ ... et un terme pîpîpj... est multiplié par >lq4-2r4-3sf.... l'identité

Za^bf^cï ... - ç)(p„ ;?,,...),

après cette transformation, doit être indépendante de L

Si la fonction ç{pi,Pip ...) n'est pas homogène, son ordre est défini par celui du terme le plus élevé; il est égal au

plus élevé des exposants a, /î, y, ... . En effet, si 6, f, ... / sont les racines de l'équation

on a Pi = — a-\-qy, Pt=— aq^ -\- q^, p^=— aq, + ^3, ...;

en portant ces dernières valeurs dans (piPifPi, ...); o" obtient une expression qui est, par rapport à a, d'un degré égal à

l'ordre de 9?(jt7„p2,...). Comme on doit retrouver Za^b^c? ^ . . . , cet ordre ne peut être inférieur à a. Il ne peut non plus être supérieur à a si a > /? >- y ... , car le coefficient de la

plus haute puissance de a dans un terme PaPyPg ... est = Pu-iPl-\qQ-\ ^t réciproquement ce dernier facteur ne

peut provenir que de ;7^p^;?^ ... de sorte qu'il ne peut se réduire à zéro par l'addition d'autres termes.

Exemple. — Trouver pour une équation du quatrième degré la fonction symétrique V -- ^a^{b + cY.

L'ordre et le poids de V étant 2 et 4, un terme de l'expression de V en fonction de p^, p.^ p-^, p^ ne peut contenir plus de deux facteurs p, et la somme de ses indices doit être égale à 4. On peut donc poser

V =Ap, + BpaPi + pi

Pour déterminer les coefficients A, B, C nous donnons à fl, bj Cf d des valeurs particulières. Si nous supposons a =^ b -= \j c = d ^ 0^ nous aurons

Pa =- 0, p.,^ 0, p. = 1, p, - — 2, V = 4 ;

d'où Ton conclut C = 4. Si a = 6 = r = 1, rf ^ 0, on a

p, = 0, p^-- — 1, /7o =- 3, pi - — 3, V 18 ;

d'oii B = — 6. Enfin, l'hypothèse a=b = l,f=rf^ — 1 donne

p, =^\, Pa - 0, P2 - — 2, Pi - 0, V - 16,

par conséquent A = 0. Donc

V = 4/75 - àpsp. (1)

Pour vérifier ce résultat, observons que

2a'' (b + cY = ASà'b^ + 22à'bc,

p\ ^-- 2'^ab ^ Zarb^ ^ 22a^bc+6abcd,

PsPi -= SaSabc -= 2a^bc \- Aabcd]

en portant ces valeurs dans l'égalité (1), on obtient une identité.