DE L'ALGÈBRE

1. Les anciens se sont occupés de plusieurs problèmes célèbres dont la résolution au moyen du cercle et de la droite est aujourd'hui reconnue impossible, parce qu'ils conduisent à des équations du 3^ ou du 4« degré. Parmi ces problèmes, nous citons la duplication du cube (problème de Dell), la trisection de l'angle, le problème d'Archimède de trouver un

plan qui divise le volume de la sphère dans un rapport donné. Ces questions qui peuvent se résoudre par l'intersection de deux coniques, ont provoque l'étude d'autres courbes servant à les résoudre, par exemple le cissoïde de Dioclès et la conclioïde de Nicomède (vers 180 avant J. Ch.) Dans les écrits d'Apollonius de Ferge (qui a vécu à Alexandrie, à la fin du Ilfe siècle avant J. Ch.), on rencontre des questions qui, pour employer notre langage, conduisent à des équations du 4e degré ; par exemple, il détermine les normales menées d'un point donné à une conique en employant une hyperbole équilatère, et il examine le cas où deux des quatre normales coïncident.

2. Nous ne nous arrêtons pas au développement successif de la notion d'équation algébrique; mentionnqns cependant la découverte, au XVfe siècle, de la résolution des équations du 3« degré (par Scipion del Ferro, professeur à Bologne de 1496-1526) et du 4e degré (par Louis Ferrari, 1422-1465). La formule de résolution de l'équation cubique a été publiée pour la première fois en 1545 par Cardan, qui la tenait de Tartaglia.

Comme précurseur de l'Algèbre moderne nous devons nommer François Viète (1540-1603). Il a été le premier à énoncer que toute question conduisant à une équation cubique se résoud soit par l'insertion de deux moyennes proportionnelles (problème auquel se ramène la duplication du cube), soit par la trisection d'un angle. Ces deux cas se rapportent respectivement aux équations cubiques à une seule racine réelle et à celles dont les trois racines sont réelles (cas irréductible). Viète a ainsi expliqué comment la somme des racines cubiques de deux imaginaires conjuguées est un nombre réel.

3. Dans les développements ultérieurs de la théorie des équations, on peut distinguer deux directions, lo Le calcul approché des racines d'une équation numérique; 2o la résolution algébrique des équations avec des coefficients littéraux.

La première question trouve sa solution dans l'application du principe de substitution ; mais pour éviter les longueurs de calculs, on cherche une limite supérieure et une limite inférieure des racines, le nombre des racines appartenant à un intervalle donné, une limite inférieure de la différence de deux racines (Règle des signes de Descartes, règle de Newton, théorème de Budan, théorème de Rolle, etc.)

Une solution entièrement satisfaisante du problème de la séparation des racines est due à Sturm (1829).

Après la résolution générale des équations du 3e et du 4e degré, les efforts des géomètres se sont surtout portés sur l'équation du 5e degré, qu'ils ont cherché à résoudre au moyen de radicaux. Leibniz s'est occupé de cette question, et il est probable qu'il a provoqué les recherches de Tchirnhausen (1651-1708) dont les travaux ont acquis de nos jours une grande importance parce qu'ils fournissent le moyen de ramener les équations à certaines formes canoniques, par exemple l'équation du 5e degré à la forme x'' -f x -f a = 0, due à Bring et à Jerrard. Tchirnhausen s'était proposé de trouver, pour une équation de ne degré, une

nouvelle inconnue y = ç?(x) qui dépende d'une équation binôme y^ = a, q){x) étant une fonction entière de degré /i — 1.

5. Dans un mémoire important, intitulé Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-71), Lagrange compare les différentes méthodes proposées pour résoudre les équations du 3e et du 4e degré ; il explique nettement pourquoi ces méthodes réussissent et pourquoi leur extension aux équations d'un degré supérieur ne donne pas de résultat. Il établit la notion de résolvante d'une équation donnée.

Ce travail de Lagrange est un précurseur de l'Algèbre moderne qui s'appuie sur les théories des groupes et des fonctions symétriques.

6. Dans sa dissertation doctorale de 1799, qui contient la première démonstration du théorème que toute équation algébrique a au moins une racine, Qauss fait remarquer que les essais tentés pour résoudre l'équation du 5e degré reviennent à la faire dépendre d'équations binômes, mais que rien n'autorise à croire que cela serait en général possible.

En 1801, dans ses Disquisitions arithmet/cae, il traite la question de l'inscription des polygones réguliers, dont la résolution revient à établir successivement des équations d'un degré inférieur. Ces recherches marquent un progrès considérable dans l'étude des équations algébriques; elles ont ouvert la voie à d'autres investigations d'un caractère profond. Qauss lui-même affirme avoir obtenu des résultats analogues dans d'autres domaines, faisant sans doute allusion à la division des fonctions elliptiques.

7. Vers la même époque (1799) paraît un essai remarquable pour démontrer que la résolution algébrique des équations est en général impossible au-delà du 4e degré. Il est dû à Paolo Ruffini qui l'a publié dans son ouvrage intitulé Teoria générale délie Equazioni, in eut si dimostra impossibile la resoluzione algebraica délie equazioni generali di grado superiore al quarto^ et dans cinq autres mémoires subséquents.

Ruffini suit en général la bonne voie en partant du nombre des valeurs que prend une fonction des racines d'une équation quand on permute les racines ; il peut donc être considéré comme le fondateur de la théorie des groupes. Mais ses démonstrations, en général difficiles à suivre, soulèvent les objections, à tel point que Malfatti les mit en doute. Ces recherches de Ruffini ont été peu connues et peu appréciées en dehors de l'Italie.

Ce n'est qu'en 1815 que la notion de groupe que l'on rencontre implicitement chez Ruffini, fut développée par Cauchy (1789-1857) dans !e Mémoire Sur le nombre des valeurs qu^une fonction peut acquérir, lorsqu'on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu'elle renferme; Cauchy y revint en 1844 dans un second mémoire plus détaillé.

8. Un nouveau progrès important de l'algèbre est dû à Abel (1802-1829) dont les premières recherches scientifiques se rapportent à l'équation du 5e degré. Le jeune géomètre norwégien crut d'abord en avoir trouvé la résolution ; mais ne tardant pas à reconnaître son erreur, et sans avoir connaissance des travaux de Ruffini, il donna la première démonstration

rigoureuse de l'impossibilité de cette résolution (1824-1826). De plus, il chercha la nature des équations spéciales d'ordre supérieur qui étaient susceptibles d'une résolution algébrique ; c'est ainsi qu'il fit connaître une grande classe d'équations résolubles et possédant des propriétés très remarquables, on les appelle aujourd'hui équations abéliennes. Il est vrai que Qauss avait donné un premier exemple de telles équations dans la théorie de l'inscription des polygones réguliers, et qu'il en avait entrevu d'autres dans les domaines supérieurs (division des fonctions elliptiques, multiplication complexe de ces fonctions).

Dans les écrits posthumes d'Abel, on trouve un travail inachevé sur ce problème plus général : Trouver toutes les équations d'un degré donné qui sont résolubles algébriquement ; reconnaître si une équation donnée admet une résolution algébrique et déterminer la forme de l'expression algébrique qui peut vérifier une équation. Ce travail contient quelques propositions fondamentales qui ont été le point de départ de recherches intéressantes dues à Kronecker.

9. Evariste Galois, né en 1811, tué en duel en 1832, a composé dès l'âge de 16 ans plusieurs mémoires d'une grande valeur sur l'algèbre supérieure ; les résultats les plus importants de ses recherches sont résumés dans une lettre écrite à un ami la veille de sa mort. Les œuvres mathématiques de ce génie prodigieux ont été plubliées, en 1897, en volume sous les auspices de la Société mathématique de France.

La théorie des équations devait à Lagrange, Gauss et Abel des progrès considérables, mais aucun d'eux n'était arrivé à mettre en évidence l'élément fondamental dont dépendent toutes les propriétés de l'équation. Cette gloire était réservée à Galois, qui montra qu'à chaque équation algébrique correspond un groupe de substitution (appelé aujourd'hui groupe de Galois) dans lequel se reflètent les carractères essentiels de l'équation, et qui fit ressortir l'importance de la notion de sous-groupe invariant d'un groupe donné. Il détermine de la manière la plus simple la condition nécessaire pour qu'une équation de degré premier soit résoluble algébriquement, à savoir que toutes les racines de l'équation soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d'entre elles; il a de même énoncé les conditions pour qu'une équation puisse se ramener à une équation de degré inférieur.

10. Pour terminer cet aperçu, signalons les travaux importants qui se rapportent aux propriétés des différentes espèces de nombres algébriques^ c'est-à-dire des racines d'une équation algébrique dont les coefficients sont entiers ou plus généralement appartiennent à un domaine défini quelconque.

Nous devons citer ici, à des points de vue différents, Gauss, Lejeune- Dirichlet, Kummer et Dedekind ; Abel, Galois et Jordan ; Puiseux, Riemann et Weierstrass ; Cayley, Clebsch, Gordan et Noether ; Kronecker, Hilbert et Hensel.

(En grande partie d'après H. Weber, Encyclopâdie der elementaren Algebra und Analysis, 2«« Auflage, pp. 383-392).