IV. SUR LA NOTION DE FONCTION

Considérons un ensemble (E) de nombres tous distincts et regardons ces nombres comme des valeurs attribuées à une variable x ; si à chacun de ces nombres x on fait correspondre un nombre y, on dira que y est une fonction définie de x pour chacun des nombres appartenant à l'ensemble (E). Par exemple, a étant un nombre positif donné, l'expression a'* , oii X est un nombre entier positif, représente le produit de x facteurs égaux à a ; a^ est en ce sens une fonction définie pour les valeurs entières et positives attribuées à x. Si Ton adopte les conventions qu'expriment les formules

aq = Ya^ ^ fl q = 1 : yâ^ , a^ = l,

on peut dire que a^ est une fonction de x, dont la valeur est toujours positive, et qui est définie pour l'ensemble des valeurs rationnelles de x.

Une fonction y dt x est définie dans l'intervalle (a, b) si k chaque valeur de x appartenant à cet intervalle correspond une valeur déterminée de y.

La notion de fonction, ainsi entendue, est extrêmement générale; elle paraîtrait autoriser l'introduction de fonctions à définition tout-à-fait arbitraire ; ainsi, ce serait définir une fonction dans l'intervalle (2, 3) que de convenir qu'on prendra y = x pour toutes les valeurs rationnelles

de X qui appartiennent à cet intervalle ti y = -^ pour toutes les valeurs

irrationnelles.

En procédant ainsi, on risquerait singulièrement d'introduire des fonctions qui n'offriraient aucun intérêt aux géomètres ; les fonctions dont l'étude s'est trouvée féconde n'ont pas été construites arbitrairement ; dans le développement de la science, elles se sont présentées d'une façon nécessaire.

(J. Tannery, Théorie des fonctions d'une variable, chap. III).

On dit que y est une fonction uniforme de x, lorsqu'à chaque valeur de X appartenant à un domaine donné il correspond, d'après une certaine loi, une valeur déterminée de y et une seule. Si à une valeur de x, il correspond deux, trois ... valeurs de y, y est une fonction biforme, informe^ ... Par exemple, si l'on donne j^ = (x - 1)2, j; est une fonction uniforme de x, tandis que x est une fonction biforme 1 i ^ y dt. y\ pour plus de clarté, on considère souvent \ -{-i y ti \ — j/jT comme deux fonctions distinctes, tandis que dans d'autres cas, il peut être utile de regarder les deux expressions comme formant une seule fonction.

Toute division suppose essentiellement que le diviseur soit différent

A de zéro ; par suite, les symboles rr-' ^ n'ont par eux-mêmes aucun sens.

Il en résulte qu'un quotient J[x) : xp{x) cesse d'être défini entièrement dans un intervalle qui comprend une racine a de l'équation y}(x) = ; on verra comment par un passage aux limites on parvient à attribuer au quotient une valeur pour x = a.

On écrit y = Y(x) pour indiquer qu'il exisle une dépendance entre les deux variables x et y, même sans connaître l'ensemble des opérations qu'il faudrait effectuer sur une valeur donnée de x pour obtenir la valeur correspondante de y ; il pourrait même se faire que de telles opérations fussent impossibles. La fonction la plus importante d'une variable indépendante, dit Thomson, est peut-être à Liverpool le prix du coton ; cependant on ne réussirait pas à établir une relation analytique entre ce prix et le temps compté à partir d'un certain moment.

On rencontre en arithmétique supérieure des fonctions dont le caractère diffère complètement de celui des fonctions ordinaires de l'analyse. Telle est, par exemple, la fonction sgn x (à lire signum x) introduite par Kronecker et qui a pour valeur 1, - 1 ou suivant que x est positif, négatif ou nul.

La notion de grandeurs variables et de fonctions d'une ou de plusieurs variables doit son origine et ses développements à la géométrie analytique, l'ordonnée d'un point d'une courbe étant considérée comme une fonction de son abcisse Leibniz a été le premier (1692) à se servir du moi fonction pour désigner des longueurs (abcisse, ordonnée, tangente, rayon de courbure, etc.) qui dépendent d'une manière déterminée d'un point mobile sur une courbe. Plus tard (1718) Jean Bernouilli appelle fonction toute grandeur qui est composée d'une variable et de constantes quelconques. Euler nomme fonction toute expression analytique formée de variables et de constantes, introduit la notation f{x) et établit la distinction entre fonction explicite ou implicite, fonction uuifonne ou multiforme, fonction algébrique ou transcendante. Quant à la dernière distinction, remarquons qu'une expression analytique donnée peut être algébrique dans un intervalle et transcendante dans un autre ; qu'une expression indiquant

un nombre illimité d'opérations élémentaires peut être algébrique (par

exemple, l'expression 1 4- "ô ■^'' ~ Yi^ ~^ 2ÂZ ^^ '" ^^P^^"*^ M + x* ,

si |x| ^ 1).

Pour de nouvelles extensions de la notion de fonction, nous renvoyons à l'article de M. Pringsheim, intitulé Grundlagen der aUgemeinen Funktionenlehre, qui. a paru dans l'Encyclopâdie der Mathematischen Wissenschaften et aussi en brochure séparée. Nous avons emprunté à cet auteur la notice historique ci-dessus.