DÉTERMINANTS
Partage des permutations en deux classes.
30. Définitions. — Considérons les permutations des n premiers nombres
Xa M| ^f '"t
Deux éléments d'une telle permutation présentent une inversion ou un dérangement^ quand le plus grand de ces nombres est placé avant Tautre. Une permutation est dite paire, positive ou de la première classe quand elle a un nombre pair d'inversions ; impaire, négative ou de la seconde classe, si elle en a un nombre impair.
Par exemple, la permutation 35214 qui a six inversions, savoir 32, 31, 52, 51, 54, 21 est paire. La permutation principale 123 ... n est rangée dans la première classe.
On appelle transposition Véchdinge de deux éléments d'une permutation. Deux permutations quelconques de n éléments peuvent toujours se ramener l'une à Tautre au moyen de transpositions. Par exemple, on transforme 35214 en 24153 en faisant successivement les transpositions (3,2), (5,4), (3, 1), (3, 5), ce qui donne
31. Théorème. — Toute transposition change la classe dune permutation,
lo Transposons d'abord deux éléments consécutifs jc, y. Soit la permutation Ajcj^B, où A désigne l'ensemble des éléments qui précèdent jc, et B celui des éléments qui suivent y. La transposition (jc, y) introduit ou supprime l'inversion que peuvent présenter x et y, mais elle n'altère pas les autres inversions ou non-inversions de Ajcj; B; donc les permutations AjcvB et AjjcB sont de classes différentes.
2o Transposons maintenant deux éléments x, y qui sont séparés par p éléments ûi, a^, ... «p. Pour passer de
kxa^a^ ... flpj'B à kya^a^ ... ûp jcB,
on peut opérer successivement les transpositions de deux éléments consécutifs:
U ûp ), (J', flp - 1), {y, ûp - 2), .... {y, a,). Ces transpositions étant au nombre de 2/? + 1; la première permutation aura changé de classe un nombre impair de fois; donc elle a passé à la classe opposée.
32. Corollaires. — I. Deux permutations sont de la même classe ou non, suivant que l'une se déduit de Vautre par un nombre pair ou impair d'échanges de deux éléments.
II. Une permutation est paire ou impaire suivant qu'elle peut se déduire de la permutation 123... n au moyen d^un nombre pair ou impair de transpositions.
Il importe de remarquer que nous avons ainsi un second principe pour classer les permutations.
Exemple : la permutation 35214 résulte de 12345 à la suite des transpositions (1,3), (2, 5), (1, 2), (4, 1) ; donc elle est paire.
III. // existe autant de permutations paires des nombres 1, 2, 3, ... n que de permutations impaires.
Car toute permutation paire, par la transposition de deux éléments déterminés a et b, devient impaire et réciproquement.
33. Permutation circulaire. - Etant donnée une disposition des nombres 1, 2, 3, ... n, remplaçons chaque élément par celui qui Ty suit, et le dernier par le premier ; la nouvelle disposition est appelée une permutation circulaire ou tournante de la première. Les deux dispositions appartiennent à la même classe ou non, suivant que /z est impair ou pair; car on passe de la première à la seconde en échangeant successivement le premier élément avec chacun des suivants. Par exemple, on transforme 35421 en 54213 en faisant les transpositions successives (3, 5), (3, 4), (3, 2), (3, 1).
34. Permutations d'éléments quelconques. — Les notions précédentes s'étendent facilement à des éléments désignés d'une manière quelconque.
On considère l'une des permutations comme étant la permutation principale ou initiale : c'est celle qui assigne
aux éléments leur rang ou numéro d'ordre. En remplaçant dans une permutation quelconque chaque élément par ce numéro, on est ramené immédiatement à ce qui précède.
Pour opérer directement, appelons encore inversion la combinaison de deux éléments d'une permutation qui sont placés Tun par rapport à l'autre dans un ordre différent de celui de la permutation principale. Suivant qu'une permutation présente un nombre pair ou impair d'inversions, elle appartiendra à la première ou à la seconde classe. Cette classe est aussi indiquée par le nombre des transpositions qui changent la permutation principale en la permutation donnée.
Par exemple, si paris est la permutation principale, la permutation raspi présente les inversions ra, rp, ap, sp, si; donc elle est impaire. On arrive à la même conclusion en transformant paris en raspi au moyen des transpositions (p, r}f iPf 5), (/, pj,
DÉFINITION d'un déterminant.
35. Définitions. — On nomme déterminant de n^ nombres rangés par lignes et colonnes (*) en tableau carré, la somme algébrique de tous les produits de n facteurs obtenus en prenant un élément et un seul dans chaque ligne et dans chaque colonne, et en affectant chaque produit du signe + ou du signe —, suivant que la permutation formée par les numéros d'ordre des lignes et la permutation formée par les numéros des colonnes auxquelles appartiennent les facteurs de ce produit, sont de même parité ou de parités différentes. Le nombre n est Yordre du déterminant.
On représente un déterminant en plaçant entre deux barres verticales le tableau de ses éléments.
Considérons, par exemple, le déterminant du 4e ordre
(•) Les Ugnes du tableau carré sont les lignes tracées dans le sens de l'écriture, et les colonnes sont les lignes, perpendiculaires aux premières. Les lignes et les colonnes se nomment aussi rangées.
Un terme de ce déterminant est le produit
ses facteurs appartiennent respectivement aux lignes de rangs 2, 4, 3, 1 et aux colonnes de rangs 3, 1, 4, 2. Comme les permutations 2431 et 3142 présentent Tune quatre et l'autre trois inversions, le terme considéré est précédé du signe—; il est donc égal à 2.22.3.5.
Pour exposer la théorie des déterminants, nous désignerons les éléments par une même lettre affectée de deux indices dont le premier marque le rang de la ligne, et le second le rang de la colonne de l'élément. On sépare les deux indices par une virgule quand il peut y avoir confusion.
Le déterminant du n^ ordre est représenté par
... ûin
«nS
. . . dxiXi
On appelle diagonale principale (ou descendante) l'ensemble des éléments diagonaux a^, a^g, a33,...ann. La seconde diagonale (ou diagonale ascendante) va de ani à ajn.
Un élément ûrs est dit pair ou impair suivant que la somme r -\ s est paire ou impaire ; les éléments de la diagonale principale sont pairs. Deux éléments sont dits conjugués lorsque leurs indices ne diffèrent que par l'ordre ; tels sont ûrs et asr-
36. Formation des termes. — Soient a^ a^ ... a„ et /Si /Sg ... /în deux permutations quelconques des nombres 1, 2, 3,... n. Un terme du déterminant (1) est évidemment
où e désigne H 1 ou — 1 suivant que les permutations a^ a,., an et fil ^2" fin sont de même parité ou de parités différentes. Le signe de T est indépendant de V ordre des facteurs. Car un échange de deux facteurs transpose à la fois deux premiers indices et deux seconds indices, de sorte que les deux séries d'indices changent à la fois de classe; or, par une suite d'échanges de deux facteurs on peut donner aux facteurs de T tel ordre qu'on veut.
Si Ton écrit les facteurs de manière que les premiers indices se suivent dans l'ordre naturel, T prend la forme
OÙ /i ^2 ... j'n désigne une permutation des nombres 1, 2, „ n et où f = 1 ou — 1, suivant que cette permutation est paire ou impaire. De là, la règle suivante :
Le premier terme (terme principal) (Vun déterminant est le produit ana22...ann. On en déduit tous les autres en laissant les premiers indices invariables et en permutant les autres de toutes les façons. Chacun des termes ainsi obtenus est précédé du signe + ou du signe — , suivant que la permutation des seconds indices est paire ou impaire, ou suivant qu'elle résulte de la permutation initiale 12 ... n par un nombre pair ou impair de transpositions.
On peut aussi conserver les seconds indices du terme principal et permuter de toutes les façons les premiers indices.
L'une et l'autre de ces règles montrent que le développement d'un déterminant d'ordre n comprend n ! termes.
37. Notation des déterminants. — La notation des doubles indices est souvent remplacée par la suivante :
ûl
Os
un
An
Cn
Les termes du développement résultent alors du terme principal ûj b<^ c^ ... /„ en permutant de toutes les façons soit les lettres a, b, c, ... / sans déplacer les indices, soit les indices sans déplacer les lettres ; un terme aura le signe -f ou le signe — , suivant que la permutation des lettres ou celle des indices présente un nombre pair ou un nombre impair de dérangements.
Les déterminants considérés ci-dessus sont souvent représentés par
2 ± «11^22^33 ... ûnn, \ û|> |, ^ i: Uyb^C^ ... /„ .
On écrit seulement la première ligne entre deux traits verticaux lorsqu'elle suffit pour faire connaître les autres lignes ; ainsi le déterminant (1) peut être représenté par
I ûi Al Cl ... /i I •
Enfin, lorsque les éléments sont caractérisés par deux symboles dont Tun reste constant dans une même ligne et l'autre dans une même colonne, on écrit sur une première ligne les signes distinctifs des colonnes et sur une seconde ligne ceux des lignes. Ainsi le déterminant (1) est dénoté par
quand on emploie la notation des doubles indices, on peut représenter le déterminant par
