Déterminants du 2e et du 3^ ordre. - On a
Pour développer le déterminant
ûi Al ^1
«3 bz (k
forme le tableau
«1 Al ^1 ûl
Les termes positifs du déterminant correspondent à trois droites parallèles à la première diagonale du déterminant, et les termes négatifs à trois droites parallèles à la seconde diagonale, de sorte que le développement cherché est
Cette règle est connue sous le nom de règle de Sarrus ( Saint -Affrique, 1793 — Strassbourg, 1852). Avec un peu d'habitude on parvient à l'appliquer mentalement.
Propriétés élémentaires des déterminants.
39. Théorème. — Un déterminant ne change pas quand on écrit les lignes pour les colonnes et réciproquement
Appelons D et D' les déterminants
flln «2n
ûll «12
«ni «n2
uni
«nn
«nn
il faut démontrer que D = D\ Or, on passe de D à D' en transposant les deux indices de chaque élément. Donc au terme
T — f. a^y^a^y^,., «ny„
du développement de D correspond, dans le développement de D', le terme
Mais T' est aussi un terme de D. On en conclut que les deux déterminants sont identiques terme à terme.
Remarque. — On dit que D' est le déterminant D transposé.
40. Théorème. — Lorsqu'on transpose deux rangées parallèles, le déterminant change seulement de signe.
Appelons D et D' les déterminants
ûpl «p2
pn
«ql «q2
qn
«ql «q2
qn
pn
qui ne diffèrent que par réchange des lignes de rangs p et q. On passe du développement de D à celui de D' en transposant p ^t q dans la série des premiers indices de chaque terme, de sorte qu'au terme
T = C. «ly^ «2^2 "'^pyp ••• ^q^q ••• ^nyn
de D correspond, dans D', le terme
^Yi^Y2 '" ^^Yp '" ^Pyq '^ny„'
Mais T fait partie de D avec le signe opposé, car la permutation des premiers indices de T a changé de classe et les seconds indices sont restés les mêmes. Ainsi, D et D' sont composés des mêmes termes avec des signes opposés; donc D' = — D.
41. Corollaire. — SI l'on permute les lignes (Vun déterminant entre elles, et les colonnes entre elles, le déterminant obtenu sera égal au premier ou n'en diffère que par le signe.
En effet, on peut passer du déterminant primitif au nouveau déterminant par des transpositions de deux rangées parallèles. Donc les deux déterminants sont égaux entre eux ou ne diffèrent que par le signe, suivant que le nombre des transpositions est pair ou impair. Pour distinguer les deux cas, on peut aussi examiner quel est, dans le déterminant primitif, le signe du terme principal du second déterminant.
ûl
by
Os
ÛI
bs
Ct
Exemple
En particulier, une permutation circulaire des lignes (ou des colonnes) n'altère pas un déterminant ou n'en fait que changer le signe suivant que Tordre est impair ou pair (33).
42. Théorème. — Un déterminant D qui a deux rangées parallèles identiques est nul.
En effet, l'échange de ces rangées laisse D invariable; mais D devrait aussi changer de signe (40). Donc D - — D, d'où D = 0.
