V. SUR LES NOMBRES COMPLEXES

La théorie des expressions de la forme a -f bi forme aujourd'hui la base de plusieurs branches importantes de l'analyse, notamment de l'algèbre et de la théorie générale des fonctions.

La notion primitive de nombre est celle du nombre entier positif, symbole d'une collection d'objets semblables. Les opérations directes (addition, multiplication, formation de puissances), effectuées sur des nombres entiers positifs, donnent des résultats de la même forme. Mais les opérations inverses ne peuvent pas toujours s'effectuer dans le domaine des nombres entiers positifs (nombres naturels) ; pour les rendre possibles, on a élargi le domaine des nombres en introduisant de nouveaux symboles que l'on appelle encore nombres. C'est ainsi que la division amène les nombres fractionnaires, la soustraction les nombres négatifs, l'extraction des racines les nombres irrationnels Les opérations (addition, soustraction, . . .) ont été étendues à ces nouveaux nombres. Pour pouvoir résoudre toutes les équations du second degré, il aurait fallu extraire la racine carrée d'un nombre négatif ou même simplement celle de - 1 ; cette racine a été considérée comme une chose inexistante, comme une chose créée .uniquement par l'imagination.

S'habituant peu à peu à ce symbole, on le maniait avec plus d'assurance, comme s'il s'agissait de nombres réels. Il en résulta un double avantage: !<> Les équations du 3e et du 4e degré reçurent également une solution dans tous les cas ; 2o On parvint à établir, au moyen

du signe V- 1, des relations entre plusieurs fonctions importantes de l'analyse (formules d'Euler qui mettent en rapport les fonctions circulaires avec les fonctions exponentielles».

L'introduction des imaginaires a soulevé au commencement beaucoup d'objections. Les applications que Gauss en fit à l'algèbre et à la théorie des nombres, et les travaux d'Abel et de Jacobi sur les fonctions elliptiques ont fini par dissiper tous les doutes sur leur emploi légitime.

Différentes méthodes ont cours dans l'exposé de la théorie des quantités a -}- bL

I. On soumet ces expressions aux règles ordinaires du calcul des quantités algébriques comme si / désignait un facteur réel, miais en ayant égard à la relation /:^^ - l. Les résultats vérifient alors les lois qui régissent les nombres réels, à savoir :

la loi commutative, exprimée par les égalités a-\- b =b -\- a, ab= ba;

la loi associative, d'après laquelle a-j-b ^ c= a + {b'\- r), abc — a (bc) ;

la loi distributive, d'après laquelle (a + b)c = ac -^ bc.

Cette manière de procéder est conforme au principe de permanence qui a été énoncé pour la première fois sous une forme tout-à-fait générale par H. Hankel dans sa Théorie der komplexen Zahlsysteme, 1867. Ce principe peut être formulé ainsi :

1« Si une expression analytique ne représente pas un nombre défini jusque là, on lui attribue un sens tel qu'on puisse la traiter d après les mêmes règles que les nombres déjà admis.

2o On considère une telle expression comme un nombre d'une nouvelle espèce.

30 On démontre que ces nouveaux nombres sont soumis aux mêmes lois que les nombres des domaines déjà admis.

40 On définit, dans le nouveau domaine, le sens des relations a = b, a > b, a < b.

II. Cauchy a proposé de traiter les égalités entre des imaginaires comme des congruences de module (/** + 1).

Pour exprimer que deux quantités a et b, divisées par p, donnent le même reste ou que la différence « - ^ est divisible par p, on écrit

a = ^, mod. p ;

une telle relation est appelée congruence.

Cela posé, Cauchy effectue les opérations sur les quantités de la forme a 4- bi comme si / représentait une variable et retranche du résultat des multiples de /* + 1. Or, si Ton réunit d'une part les termes du résultat qui renferment des puissances de / de degré pair, d'autre part les termes

restants, le résultat prend la forme /(/'*) -f- /F (/*) et le reste de la division par /* -^- 1 de/(/«) et F (/*) est/(- 1) et F{- 1) ; donc

fin + îFin =/(-!) + /F (- 1), mod. (/^ + 1).

III. La méthode suivante est due à Hamilton, l'inventeur du calcul des quaternions.

Soient a tt b deux nombres réels quelconques ; nous considérons le couple (a, b) comme définissant un nouveau nombre dit complexe et nous assujettissons ce nouveau symbole aux conventions suivantes :

1. Deux nombres complexes (a, b), (a\ b') ne sont égaux que si a = a\ b = b\