La multiplication est définie par

(fl, b) {a\ b') = iaa' — bb\ ab' + a!b).

5. La division est considérée comme l'inverse de la multiplication.

Diviser (a, b) par (a\ b% c'est chercher des nombres x ti y tels, que l'on ait

(a, b) = (a', b')(x, y) = {a'x- b'y, tfy + b'x);

on pose donc (f x — b* y =^ fl, a* y -\- b* x = b^ d'où des valeurs admissibles de x eiy.

Cela admis, d'après les conventions précédentes, on a

(fl, b) = ifl, 0) + (0, 6) = «7 + * (0. 1);

tous les nombres complexes peuvent donc s'exprimer au moyen du seul nombre complexe (0, 1), que l'on désigne par / et que l'on appelle unité imaginaire, de sorte que

(û, b) = a -\- bL

D'après la règle de multiplication, on a

IV. Quelques auteurs partent des opérations effectuées sur des vecteurs coplanaires pour en déduire la théorie des quantités a + bi.

La représentation géométrique de l'imaginaire x + yi par un point du plan Jt.v a été longtemps attribuée à Gauss et à Argand. Mais elle avait déjà été donnée par Caspar Wessel dans un mémoire présenté à l'Académie de Copenhague en 1797, publié en 1799 et resté dans l'oubli jusqu'à sa réimpression en 1897, sous le titre Essai sur la représentation de la direction.

Déjà dans sa dissertation U799) Gauss utilise la représentation géométrique des imaginaires pour y rattacher certaines considérations qui appartiennent à l'Analysis situs. Il en parle également dans une lettre adressée à Bessel en 1811 et publiée seulement en 1880; mais ce n est qu'en 1825 qu'il la fait connaître au public dans l'article sur les projections de cartes. Cette interprétation a provoqué les plus grands progrès du calcul intégral depuis que Cauchy s'en servit (1822) pour l'intégration entre des limites imaginaires.

L'interprétation géométrique des opérations sur les imaginaires a été développée en 1806 par Argand dans une brochure intitulée Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Elle se retrouve dans la méthode des équipoUences, créée par Bellavitis; pour cette méthode, le lecteur peut consulter l'ouvrage: Théorie et applications des équipolUnces, par Laisant ; Paris, 1887.

Les quantités imaginaires a + bi sont susceptibles d'une grande généralisation.

En effet, soient û, û^, ûo» — ^n ^^^ nombres appartenant à im domaine bien défini D, comprenant par exemple tous les nombres positifs

ou négatifs, entiers ou fractionnaires, rationnels ou irrationnels, réels ou de la forme a + bi ; Posons

A = fli C, + Jg «2 -|- Û3 €3 + .... + fln €n,

OÙ les symboles £1, Cg, .. «n, appelés unités principales, doivent être choisis de manière à satisfaire aux conditions suivantes :

Si l'on multiplie d'après les règles ordinaires deux expressions

comme si les e représentaient des nombres appartenant au domaine D, le résultat doit être de la même forme, de sorte que

OÙ c^,c,^, ... c^ sont des nombres du domaine D.

2. La multiplication doit satisfaire à la loi distributive et à la loi associative; autrement dit, on doit avoir

a(b + c) = ab -f ac^ {b + c)à -- ba + ca, (ab)c = a(bc).

Mais en général on n'exige pas que la loi commutative soit observée.

3. L'opération inverse de la multiplication doit en général être possible ; en d'autres termes, si l'on considère l'équation ab = c, on doit pouvoir déduire a de ^ et r, ^ de a et c.

Pour satisfaire aux conditions 1 et 2, il suffit que les produits e^ e^ soient de la forme a^e^ -\- a^e^ + ... + «n^n; ^^ ^"^ ^'^n ait

Le lecteur peut consulter sur cette question la monographie suivante : Théorie des quantités complexes à n unités principales, par B. Berloty (Thèse. Paris 1886).

(En grande partie d'après l'article Gemeine complexe Grôssen, par E. Study, dans l'Encyklopaedie der Mathcmatichen Wissenschaften.