VL SUR LES DÉTERMINANTS
La plupart des traités d'algèbre renferment une théorie des déterminants. Parmi les monographies, nous indiquons les suivantes :
Brioschi, La Teorica dei determinanti, Pavia, 1854. Traduction française par Combescure. Paris, 1856.
Spottiswoode, Elementary Theorems relating to Déterminants. Londres, 1851 et dans le Journal de Crelle, 1856.
Baitzer, Théorie und Anwendung der Determinanten, 5c éd. Leipzig, 1881. Traduction française par Houël.
Salmon, Lessons introductory to the modem higher algebra. Traduction française, 4e éd., par O. Chemin. Paris, 1890.
NEUBERO. - Algèbre. 19
0. Hesse, Die Determinanten elementar behandelt. Leipzig, 1872.
Ofinther, Lehrbuch der Determinantentheorie, 2c édit. Erlangen, 1877.
Scott, A treatise on the theory of déterminants. Cambridge, 1880.
P. Mansion, Eléments de la théorie des déterminants, 6c éd. Paris, 1900. Traduction allemande.
Sickenberger, Die Determinanten in genetischer Behandlung. Munich, 1885.
Oordan, Vorlesungen ûber Invariantentheorie. I. Determinanten. Leipsig,
Pascal, I determinanti. Milan, 1897.
Dostor, Eléments de la théorie des déterminants, avec application etc 2e éd. (nouveau tirage). Paris, 1905.
Muîr, The Theory of déterminants, 2 vol.
La première idée des déterminants est due à Leibniz ; dans sa lettre à l'Hôpital (1693) on trouve le premier exemple de la formation de ces fonctions, et la notation des doubles indices. Mais la méthode fut perdue jusqu'à ce que Cramer la découvrît à nouveau en 1750. Dans son Introduction à P analyse des lignes courbes, Cramer a donné les déterminants qui proviennent d'équations linéaires à 2 ou à 3 inconnues et a indiqué la loi de formation pour plus de 3 inconnues. Il a aussi donné la règle des signes par la méthode des transpositions; Bezout et Laplace ont démontré ultérieurement l'équivalence de l'autre méthode par la permutation des indices.
L'Histoire de P Académie royale des Sciences renferme un Mémoire de Bezout (année 1764) sur le degré de l'équation résultant de l'élimination de quantités inconnues entre un système donné d'équations, ainsi que les Mémoires de Laplace et Vandermonde (année 1772) relatifs à des déterminants d'ordre quelconque.
Dans son Mémoire sur les Pyramides (Mém, de PAc. de Berlin, 1773), Lagrange fait un grand usage des déterminants du 3c ordre et met le carré d'un tel déterminant sous forme de déterminant. En 1801, Qauss (Disquisitiones arithmeticae) montre que le produit de deux déterminants du 2e ou du 3c ordre est un déterminant du même ordre et discute complètement les déterminants f^ - ac provenant des formes quadratiques. En 1812, Binet établit les théorèmes principaux pour les déterminants des 2c, 3c et 4c ordre, et en fait l'application à des problèmes de géométçie. A la même époque, Cauchy étudie les fonctions alternées (qui changent seulement de signe par l'échange de deux variables) et énonce un grand nombre de théorèmes généraux sur les déterminants de deux systèmes rectangulaires C'est à ces deux géomètres que l'on doit attribuer la règle générale de multiplication. En 1826, Jacobi s'empare du nouveau calcul, et les volumes du Journal de Crelle renferment des preuves éclatantes du pouvoir de cet instrument dans les mains d'un pareil maître. Ses mémoires de 1841, De formatione et proprietatibus determinantium et De determinantibus functionalibus rendent pour la première
fois ce sujet accessible à tous les mathématiciens. Parmi les écrits plus récents, les Mémoires de Cayley sur les déterminants gauches (Crelle, XXXII et XXXVIIl) sont peut-être les plus importants.
Les applications des déterminants à l'algèbre et à la géométrie sont très nombreuses. Nous ne faisons que citer ici quelques noms : Sylvester, Cayley, Kronecker, Piquet, Frobenius, Netto, Hesse, Qundelfinger, Clebsch, Qordan, Muir, de Gasparis, Zehfuss, Poincaré, etc.
(D'après Baltzer et E. Netto).
