VII. SUR LES NOMBRES IRRATIONNELS

Les nombres irrationnels se sont d'abord présentés en géométrie à l'occasion du rapport de deux longueurs qui n'ont pas de commune mesure. Cependant, chez les Anciens, chez les mathématiciens du moyenâge et de la renaissance, ce rapport ne définissait pas un nombre bien déterminé] il était considéré comme un nombre impropre on fictif qu'il fallait tolérer comme un mal nécessaire.

Une idée plus juste du rôle des nombres irrationnels fut énoncée pour la première fois par Michael Stifel ; dans son Arithmetica intégra, il dit que dans la série ordonnée des nombres, tout nombre irrationnel occupe une place bien déterminée, aussi bien que tout nombre rationnel, mais il n'avait en vue que les racines des nombres.

Le développement de la méthode algébrico-géométrique surtout depuis la publication de la Géométrie de Descartes (1637), et l'invention du calcul infinitésimal par Leibniz et Newton (1684, 1687) firent sentir le besoin d'établir une équivalence complète entre les longueurs et les symboles qui les remplacent dans les calculs, et par suite le besoin de compléter la notion d'irrationnalité.

Newton, tout au début de son Arithmetica universaiis (1707) dit qu'à tout rapport de deux quantités correspond un nombre; cet énoncé est plutôt une définition. Ch. Wolf, dont les ouvrages jouissaient d'une grande vofeue pendant la première moitié du 17e siècle, appelle nombre ce qui est à l'unité comme une ligne droite est à une certaine autre ligne droite. Cela revient à considérer le nombre comme le résultat de la mesure d'une longueur au moyen de l'unité ou à dire qu'à tout point de Paxe des nombres correspond un nombre déterminé (rationnel ou irrationnel) et réciproquement. Ce nombre peut être exprimé, suivant les cas, par une fraction continue limitée ou illimitée; il suffit, pour cela» d'appliquer à la longueur considérée et à l'unité le procédé de la recherche de la commune mesure. On peut aussi obtenir la mesure d'une longueur sous forme de fraction décimale soit limitée, soit périodique, soit illimitée et non périodique.

Q. Cantor a été le premier (en 1872) à faire remarquer que cette manière de procéder implique essentiellement un axiome de nature géométrique, mais indémontrable, à savoir : à tout procédé arithmétique analogue à ceux qui sont employés ci-dessus pour définir les nombres irrationnels il

correspond sur Paxe des nombres au point bien déterminé (Math. Ann., V, p. 128). Vers la même époque, R. Dedekind formule l'axiome équivalent suivant : Si ïon sépare les points d^une droite en deu x classes telles, que tout point de la première classe est à gauche de tout point de la 2^ classe il existe un point et un seul qui produise cette s^aration ; c'est cet axiome, dit-il, qui explique et précise la notion de la continuité de la ligne droite, notion admise jusqu'ici sans définition suffisante. Pour affranchir l'Arithmétique universelle de tout axiome géométrique, Cantor et Dedekind ont développé chacun une théorie purement arithmétique des nombres irrationnels. Celle de Cantor (loc. cit.) a été reprise avec plus de détails par E. Heine (Crelle LXXIV). On la retrouve aussi dans le Nouveau Précis d* Analyse in/init^imale (\S72) àe Ch. Meray, qui y était arrivé indépendamment de Cantor. Weierstrass, dans ses leçons sur les fonctions analytiques, s'appuyait sur une autre théorie purement arithmétique des nombres irrationnels : cette théorie a été publiée par H. Kossak dans le programme du gymnase Werder, 1872 et par O. Biermann, dans sa Théorie der analytischen Functionen, 1887.

Voici un résumé de la théorie des nombres irrationnels, d'après R. Dedekind (•) :

Si, par un procédé quelconque, on parvient à séparer les nombres rationnels en deux classes (A) et (B), de façon que tout nombre de la première classe soit plus petit qu'un nombre quelconque de la seconde classe, on dit qu'on a opéré une coupure. Alors, si la classe (A) comprend un nombre a supérieur à tous les autres nombres de cette classe, la coupure est produite par ce nombre a ; de même si la classe (B) comprenait un nombre b inférieur à tous les autres nombres de (B), ce serait b qui produirait la coupure. Mais il peut arriver qu'aucune de ces deux circonstances ne se produise ; dans ce cas, on dit que la coupure est produite par un nombre irrationnel; celui ci' n'appartient à aucune des deux classes (A) et (B), et est considéré comme plus grand que tout nombre de la classe (A) et plus petit que tout nombre de la classe (B).

(*) Pour plus de détails sur les irrationnels, voir :

Dedekind, Stetigkeit und irrntionale Zahlen. 2e éd. Brunswick, 1892.

Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? 2e éd., 1893.

J. Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d*une variable. Paris, 1886.

J. Tannery, Leçons d'alg^èbre et d'analyse.

P. Mansion, Mathesis, t. V.

Pasch, Einleitung In die Differential-nnd Integralrechnung. Leipsig, 1882.

Baire, Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité. Paris, 1905.