VIII. SUR LA NOTION DE LIMITE

Les questions de géométrie que l'on résout aujourd'hui par la méthode des limites, ont été traitées autrefois par des méthodes plus pénibles ou moins rigoureuses.

Euclide et Archimède employaient le principe (Texhaustion, Par exemple, pour prouver que les surfaces de deux cercles sont entre elles comme les carrés des rayons, Euclide montre d'abord que l'excès d'un cercle sur un polygone régulier inscrit peut devenir aussi petit qu'on le veut, quand on double indéfiniment le nombre des côtés; car d'un polygone au suivant cet excès diminue plus que de moitié. On épuise donc en quelque sorte la différence entre les deux figures, d'où le nom de méthode d'exhaustion. Comme les surfaces des polygones réguliers semblables inscrits dans deux cercles restent proportionnelles aux carrés des rayons, tandis que l'on épuise les excès des deux cercles sur les polygones correspondants, on voit que la même propriété existe pour les cercles. Mais pour que cette proposition soit démontrée en toute rigueur, Euclide montre encore que toute hypothèse contraire à l'existence de cette propriété conduit à une conséquence absurde.

On ne rencontre guère avant le 16e siècle l'idée de regarder une aire plane qui est limitée par une courbe fermée, comme un polygone formé d'un nombre infini de côtés infiniment petits (plus correctement comme la limite d'un polygone inscrit dont le nombre de côtés croit indéfiniment tandis que ces côtés décroissent indéfiniment). C'est par des considérations de cette espèce que Kepler a trouvé les formules de cubature de quelques solides de révolution.

Quelque temps après, Cavalieri (1598-1647) publia sa Géométrie des indivisibles. Ce mathématicien considérait une ligne comme composée d'une infinité de points, une surface comme une somme de lignes, un volume comme une somme de surfaces. Par exemple, deux pyramides de bases équivalentes et de même hauteur étant placées sur un même plan, un plan parallèle à celui des bases coupe les deux solides suivant deux polygones équivalents ; en déplaçant ce plan depuis le plan des deux bases jusqu'à ce qu'il passe par les deux sommets, on voit que les volumes des deux corps sont les sommes d'éléments correspondants égaux, etc.

La forme d'un tel raisonnement est évidemment vicieuse; Roberval, (1602- 1675), dans son Traité des Indivisibles, l'a améliorée en disant qu'il fallait considérer une ligne, une surface, un volume comme composés d'une infinité de petites lignes, de petites surfaces, de petits volumes.

Le géomètre anglais Wallis a été le premier à définir la limite d'une suite indéfinie de nombres comme on le fait aujourd'hui. Cependant, pour démontrer l'existence de la limite on avait recours à des considérations géométriques ou à des analogies. Par exemple, dans la quadrature des aires limitées par des courbes, dans la rectification des arcs, on admettait à priori l'existence de la mesure d'une aire ou de la longueur d'un arc

de courbe. Un changement décisif dans cette manière de procéder est dû à Cauchy qui, avant de chercher des aires, des arcs, etc., définit nettement l'intégrale définie et en démontre l'existence.

Pour établir la convergence d'une suite indéfinie de nombres vers une limite, on a le caractère général de convergence^ (*) ; il comprend les théorèmes (89) et (90) comme cas particuliers. La démonstration de tout caractère de convergence (•) suppose une théorie complète des nombres irrationnels.

La màhode des limites, qui est si féconde, consiste à conclure, de relations existant entre des variables, des relations analogues entre les limites des variables. Le passage à la limite repose sur des principes qui ont été établis ci-dessus (91-94). Voici encore quelques remarques qui trouvent souvent leur application.

Une variable ne peut tendre en même temps vers deux limites différentes. Car si x tendait à la fois vers a et b, en représentant par c un nombre quelconque compris entre a et ^, jc finirait par rester à la fois plus grand et plus petit que r, ce qui est absurde.

Si deux variables x et y tendent vers une même limite, unf troisième variable z qui est toujours comprise eutre x et y, a la même limite.

Si les variables x et y ont respectivement pour limites 2l et h, et si l'on a2L > b, les valeurs de x finissent par rester supérieures à celles de y.

Si les valeurs d^une variable x finissent par rester inférieures à celles d^une autre variable y qui tend vers une limite h, \ ne peut tendre vers une limite supérieure à b.