IX. SUR LE THÉORÈME DE D'ALEMBERT
On savait que toute équation de degré impair, à coefficients réelsr admet au moins une racine de signe contraire à son dernier terme; que toute équation de degré pair, à coefficients réels, et se terminant par un terme négatif admet au moins une racine positive et une racine négative; on connaissait même la résolution complète par la trigonométrie, de l'équation binôme, et celle des équations du 2e, 3e et 4e degré. En s'appuyant sur de tels cas particuliers les géomètres du 18e siècle concluaient, par induction, que toute équation algébrique a au moins une
(*) Pour la démonstration, voir par exemple : J. Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable. G. Jordan, Cours d'Analyse de l'Ecole polytechnique. Stolz, Vorlesungen iiber allgemcine Arithmetik. Mansion, Mathesis, t. V, p. 270.
Dlni, Pundamenti per la teorica, etc.
racine. D'Alcmbert, Euler, Daviet de Foncenex, Lagrange ont cherché en vain à établir ce théorème général.
La première démonstration de ce théorème fondamental de l'algèbre fut trouvée en 1797 et publiée dans sa Dissertation en 1799 par Gauss, qui fit aussi la critique des essais antérieurs et indiqua le moyen de compléter la démonstration de d'Alembert. Gauss est encore revenu sur la même question dans trois autres mémoires [Comment. Gôtting. 3, 1816 ; Gôtting. Abh. 4, 1850).
Depuis 1799, on rencontre beaucoup de démonstrations du théorème fondamental ; il y en a même qui sont fondées sur des notions de calcul intégral ou sur la théorie des fonctions. Les autres peuvent se partager en deux groupes principaux : 1. Au moyen de considérations de continuité (de nature analytique ou géométrique) ou d'opérations en nombre indéfini on approche de plus en plus d'une racine ; 2o on établit que le théorème ~de d'Alembert est vrai pour une équation donnée, s'il subsiste pour les équations de degré impair ou pour celles de degré inférieur.
Dans le premier groupe, nous citons la première et la quatrième démonstration de Gauss. deux démonstrations différentes par Cauchy (*), une démonstration purement analytique par Lipschitz (**•, deux démonstrations par F. Mertens (**•) et Weierslrass (*•••), une démonstration par Mourey (vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires) avec des compléments par Liou ville (J. de Math., IV, p. 151).
Dans le second groupe, nous mentionnons la seconde démonstration de Gauss et sa transformation par Kronecker (*****), une démonstration par Gordan (•*••••), enfin celle de M. Waiecki (C. R. de l'Ac. des Se, 1883).
