Application

(Paris, 1735-1796),

Soit le déterminant de Vandermonde

.. fl"-'

formé avec n nombres distincts a, b, c ... /. Regardons-le comme un polynôme en b ; comme il s'annule quand on remplace b par a, il est divisible par b — a.On verrait de même

qu'il est divisible par les différences c — a, c — b^ etc. ; il est donc divisible par le produit P des différences

qu'on obtient en retranchant chacun des nombres a, b, c, ... k de ceux qui le suivent.

On a même V = P ; car le produit des premiers termes de ces différences est égal à bc^ ... /"-* ou au terme principal de V.

Plus généralement, si/ (x),/^ W, .../„ (x) sont des fonctions entières distinctes, et si a, b, ... / sont n nombres distincts, le déterminant

/i (à) Â {à) ... /„ (a) fAb) Â{b) ... /„(A) /o {c) Â (c) ... /„ {c)

/l(0 fAt) ... /n(0

est divisible par P. Un tel déterminant est appelé alternant

44. Théorème. — Pour multiplier ou diviser un déterminant par un nombre X, il suffit de multiplier ou de diviser par ^ les éléments d'une rangée.

Ainsi,

fll

Car chaque terme du développement du déterminant I ûi b^ Cl I contient en facteur l'un des nombres ûi, a^, a^ ; donc si on remplace ces nombres par Ac,, ka^, Aa,, le déterminant est multiplié par X.

45. Corollaires. — I. Un déterminant change de signe quand on change les signes des éléments d'une même rangée.

II. — On peut mettre en évidence devant le déterminant un facteur commun à tous les éléments d'une même rangée.

Ce principe facilite souvent le calcul d'un déterminant.

Soit, par exemple,

Divisons la première ligne par 2, ensuite la troisième colonne par 4 ; cela fait, réduisons les éléments de la première ligne au même dénominateur 15 et ceux de la troisième au dénominateur 12 ; enfin mettons en évidence

les facteurs

et 15 12

Il vient

D = 2 X 4 X VF X Tô