Formation des mineurs. — Considérons le déterminant

dix ^22

«In fl2n

uni Ûn2

ns

nn

Dans le développement de D, réunissons tous les termes qui renferment ûrs et mettons-y cet élément en facteur commun ; le polynôme qui multiplie alors ûrs est appelé le mineur correspondant à ûrs ou cof acteur de ûrs. Nous le désignerons par Ars.

Cherchons d'abord An. A cet effet, partons du terme principal

ûllÛ22Û33...ûnn

et permutons-y de toutes les façons les seconds indices de la partie a^^ «ss ... Unn et donnons aux termes ainsi obtenus le signe qui leur convient. L'ensemble de ces termes, après

suppression du facteur an, formera évidemment An ; mais on obtient également ces termes en développant le déterminant

Ûn2 Ûn3 ... û

nn

Donc, An est égal au déterminant qui résulte de D par la suppression de la première ligne et de la première colonne.

Passons au cas général. Pour trouver Ars, échangeons la ligne r successivement avec chacune des r — \ précédentes, ce qui multiplie D par (— l)"^-^ ; échangeons ensuite la colonne 5 successivement avec chacune des s — 1 précédentes, ce qui multiplie le déterminant par (— 1)*-'. Ces transformations conduisent à un déterminant D' commençant par a", et Ton a

D'= (— l)r-l + 8-l D = (— l)r + sD;

il suffit maintenant de supprimer dans D' la première ligne et la première colonne pour obtenir le mineur de D' qui correspond à ars. Ce mineur étant égal à (— 1)*^ + «Ars, on a la règle :

Le mineur Ars est égal au déterminant qui résulte de D par la suppression des deux rangées qui se croisent sur ars, ce déterminant étant pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant que Vêlement ars est pair ou impair.

Soit, par exemple, le déterminant

le mineur correspondant à c^ est

Ci Al