Propriétés fondamentales des mineurs

1° Tout déterminant D est égal à la somme des produits des éléments d'une rangée par les mineurs correspondants.

2o La somme des produits des éléments d'une rangée par les mineurs homologues relatifs à une rangée parallèle est nulle.

lo Chaque terme du développement de D contient un élément et un seul de la ligne

ûrl, ar2i ^r3,

^rn-

L'ensemble des termes en a ri est représenté par a ri A ri, les termes contenant ar2 composent flr2Ar2, et ainsi de suite.

Tous les termes de D ayant été ainsi pris et chacun d'eux une seule fois, on a

D=flrlAri + ar2Ar2 + " + ûmArn-

2o Les mineurs A ri, Ar2, ... A m sont indépendants des éléments de la ligne r; par suite, si ces éléments sont remplacés par ceux d'une ligne parallèle, par exemple par

pi, Ûp2;

pn.

la somme

ûplArl + ûp2Ar2 + ... + ûpnArn

représente le développement d'un déterminant dont les lignes de rangs p tt r sont identiques. Cette somme est donc nulle. Par analogie

D = ûliAis i a2sA2s t ... + uns Ans,

- ûlqAis + fl2qA2s I

I a nq Ans-

Exemple. — Soit le déterminant

Al b,

le développement de D suivant la 2^ ligne est

48. Corollaires. — I. Si tous les éléments d'une rangée sont nuls à texception d'un seul, le déterminant se réduit au produit de l'élément non nul par le mineur correspondant.

bi Ci rfi

Ui c^ di

a^ b^ rfi

ai bi Cl

Ag ^ rfg

Os Cs rfg

ûg As ^3

1 rfo

ûg Ag Tg

bi Ci d^

«4 Cl rfj

di b.i d,

Exemple.

dt ds d.

dt d.

II. 5/ les éléments situés (Tan côté de la diagonale principale sont tous nuls, le déterminant se réduit au terme diagonal.

Exemple.

ÛI

= aib^Cs

III. Tout déterminant peut être mis sous la forme d'un déterminant d'ordre plus élevé.

Exemple.

ÛI

ifi

ûe

ûi

a, p^ y étant des nombres quelconques.

49. Théorème. — Un déterminant dans lequel chaque élément d^une rangée est la somme de p termes, est la somme de p déterminants obtenus en remplaçant les éléments de la rangée considérée par les premiers, les seconds, ..., les p*^"" termes des sommes en question.

Par exemple,

û^i + ûfi + ^1 *i ^1 Û2 + ûfo + e^ 6g ^2

En effet, si Ton appelle Ai, Aj, A3 les mineurs relatifs à la première colonne, le déterminant proposé est égal à

(a» + rfi + ^jAi + (a. + rf, I- c.)k^ -h («3 + rfs + ^3)A3,

ce que Ton peut écrire ainsi :

(a,Ai+fl2A2+Û3A3)+(rfiAi+rf2A2+ûf3A3)+(^iAi+^A+^3A3).

NEUBERO. - Algèbre. 3

a, ^i Cl

di *i ^1

Ui b^ C2

d^ bz Ci

Û3 bz Cs

rfg 63 Cs

Les parenthèses étant les développements de

\a, b, rj, \d, b, r, | , \e, b, c,\, le théorème est démontré.

50. Remarques. — f. Si les éléments de la première colonne sont des sommes de p termes, ceux de la seconde des sommes de q termes, etc., on peut appRquer plusieurs fois le théorème.

Par exemple

ûi+*i ûi— ^ ^i| 1^1 û, — ô, rj + I 6, fl, — b, c, I

II. Si les sommes relatives à une rangée n'ont pas le même nombre de termes, on remplacera par des zéros les termes manquants. Par exemple, l'équation

X bt c,

fls + Jc bt Ct

se ramène à

bx Cl

Oi b

'l Cl

bi Ci

Oi b

bs Cg

51. — Théorème. - On peut ajouter aux éléments <Vune rangée ceux (Tune rangée paraUèUy multipliés par un nombre quelconque. (Principe de l'addition des rangées parallèles.)

Par exemple,

ûl

«1 f Ibi

-t- f*Ci

fls + ^S

En effet, le second déterminant se décompose ainsi (49) :

I ûi 6, Ti I + A I 6, Ôi ^1 I + /^ I Ti 6, Ti

et les deux derniers déterminants sont nuls (42). Exemple. — Calculer l'alternant

Soustrayons la première ligne de chacune des autres ; il vient

1 b^- + ba + a'

i- ca + a^

En soustrayant encore la première ligne de la deuxième, on obtient

On arrive au même résultat en observant que D s'annule quand on remplace a par b, ou b par r, ou c par a ; donc

m étant un facteur inconnu. Pour retrouver dans le dernier produit le terme diagonal b(f^ de D, il faut' que m renferme un terme c. Or, le développement de D est une fonction homogène du 4^ degré en a, b, c qui ne fait que changer de signe quand on échange deux des lettres a, b, c et la dernière propriété appartient également au produit {b — a) {c —a) {c — b)\ donc m est une fonction homogène et symétrique du premier degré, d'où /w = a + b + c.

Multiplication des déterminants.

52. Théorème. — Le produit de deux déterminants d'ordre n est un déterminant d'ordre n dont les différents éléments s'obtiennent en multipliant une ligne quelconque du premier des déterminants donnés par une ligne quelconque du second (*).

Considérons, par exemple, les déterminants

ûl

Pi ïi

n Multiplier deux lignes, c'est faire la somme des produits des éléments correspondants des deux lignes.

et posons

^2»! + *2)Sl + ^aXl û-iOs + *2/^2 -|- ^272 ^2^3 + ^3 + ^2^3

Û3«i + ^3/^1 + ^3^1 û^a^ + ôg/î^ + c^yo a-^a.^ + b-J.^ + c^y^

nous allons démontrer que P - D^.

Pour abréger le discours, appelons file de P l'ensemble des termes placés sur une même verticale.

On peut décomposer P en 27 déterminants partiels (50, 1) ayant pour colonnes une file quelconque de la Ke colonne de P, une file quelconque de la 2^ et une file quelconque de la 3e.

Ceux de ces déterminants partiels qui comprennent deux files de même rang de deux colonnes de P, sont nuls ; par exemple

Ceux qui sont formés avec trois files de rangs différents contiennent D en facteur. Tel est le déterminant

ûl«l

ûoOl

Cxïo

bxPs

ûi r, bi

c^yt

b^Ji

cio ^2 b^

- (-l)ia,y,)^3.D,