C-ifi

a,, Ci b,,

/ désignant le nombre des transpositions qui ramènent la permutation acb à abc. Mais le même nombre / de transpositions ramène la permutation ayp à ajiy ; par conséquent, ( — \y a^y^iP.^ est un terme du développement de A. On en conclut que les déterminants partiels de P qui ne sont pas nuls, sont égaux aux produits de D par les différents termes du développement de A ; leur somme est donc égale à D J.

53. Remarques. — I. Si Ton transpose (39) l'un des déterminants D, A ou les deux, on voit que leur produit peut s'effectuer en multipliant :

les lignes de D par les lignes de J,

ou n V » » colonnes

ou les colonnes » ,; lignes

ou „ „ ,, ,; colonnes »

IL Pour multiplier deux déterminants d'ordres différents, on les ramène au même ordre soit en élevant celui d'ordre inférieur (48, III), soit en abaissant celui d'ordre supérieur.

L'exemple suivant montrera comment on abaisse Tordre d'un déterminant. Considérons le déterminant

abc a' V d

où les nombres a, 6, c sont supposés différents de zéro. Multiplions les deux dernières colonnes par û ; D sera multiplié par a-. Retranchons ensuite de la 2e colonne la Ue multipliée par 6, et de la 3e colonne la Ue multipliée par c\ nous aurons

a! aV — db ad — a!c fl" aV'-d'b ad'-^d'c

aV —à!b ad —a'c aV'-d'b ad'—d'c

III. Le produit de plusieurs déterminants, ainsi qu'une puissance quelconque d'un déterminant, peuvent se mettre sous la forme d'un déterminant.

64. Application à Taire d'un triangle. - Soient (jc, , y (), (jCj, y'^^ (^s^J'a)» (Xp Y,)., les coordonnées des sommets de deux triangles AjAjAjB, B2B3 rapportés à deux axes rectangulaires.

Si A et B désignent les aires de ces triangles (*). on a