Déterminants partiels. — Etant donné un déterminant

... flin

Oii

uni

Ûn2

ÛJnn

îs de rangs

ai,

<hf

..., Ci

(Kn) et les colonnes de rangs

Ai A> finf "f Pi ;

les éléments communs à ces lignes et à ces colonnes appartiennent à un déterminant d'ordre /:

%A %^2 •• %Pi

d est appelé un déterminant partiel ou sous-déterminant de D; on le représente sans ambiguité par le symbole

Oj Og ... ai

Soient

« i + l> « i + 2> ••• «n et ^ i + 1, ^ i -f 2; ... A

les rangs des lignes et ceux des colonnes qui n'entrent pas dans d ; les éléments communs à ces lignes et à ces colonnes appartiennent à un autre déterminant partiel ô\ qu'on appelle le complémentaire de ô et qu'on peut représenter par le symbole

i^i^-i i8i-f2 ... fin Qi^l «1^2 ... «n

Les combinaisons ai a^ ... ai^ p^ fi.^ ... /Si, ai ^ i ... On, )^ i + 1 ... fin sont supposées ordonnées, c'est-à-dire sans inversion.

58. Lemme. — Etant donné un déterminant D d'ordre n, soit d le déterminant partiel formé avec les éléments communs aux i premières lignes et aux i premières colonnes, et soit d' le sous-déterminant complémentaire de à : le produit dô' fait partie du développement de D.

Parmi les termes de D, considérons ceux qu'on déduit du terme principal

en remplaçant la suite des seconds indices de la partie ûii «22 ... uw par une permutation quelconque y^ y^ ... y\ de ces indices, et aussi la suite des seconds indices de la partie restante awk... «nn par une permutation quelconque yv ... ^'n des indices k, k + i,.. n. Soient /t le nombre des inversions de la permutation y^ y^ ... yi , et /i' celui des inversions de yv ... yn ; a* -t /^' sera celui des inversions de y^ ... yi yv ... /„ . La somme des termes considérés de D sera donc

Z{'-\)^-^H''aiy^.,.a\y.^ayy^ ... ^^ n y„

OU 2{ — \)^a^y^„.aiy. x 2'(— 1)/"^:^^^ .. a„y„ . Or, d^2{—\)^a,y^.:axy., (5'--2'(^l)/^'awyk ...ûny„; le lemme est donc démontré.

59. Théorème de Laplace. - Etant donné un déterminant D d'ordre n, partageons les lignes en deux tableaux, T et T', comprenant respectivement \ et n — i lignes. Soit S un déterminant partiel formé avec les éléments communs aux i lignes et à i colonnes quelconques de T, et soit ô* le complémentaire

de ô. Si m désigne la somme des rangs des lignes et des colonnes de D qui entrent dans à, on a

En effet, soient, respectivement,

(Ci, Oi, ... ai), (ak, Ok+i, ... «n ), OÙ A = / + 1.

les rangs des lignes du tableau T, et ceux des lignes du tableau T'. Ces nombres a sont donnés et restent invariables. Formons le déterminant partiel à dont les éléments appartiennent à la fois aux / lignes de T et aux colonnes de T de rangs

pxf fi'if ... pi ;

formons aussi le déterminant partiel ô' avec les éléments communs aux n ~ i lignes de T' et aux colonnes de T de rangs différents de celles de ô ; nous désignons les rangs de ces colonnes de T' par

ô et A* sont des sous-déterminants complémentaires.

Le produit ôô\ pris avec un signe convenable, fait partie du développement de D. Car, par des transpositions de deux rangées parallèles on peut donner aux lignes de D Tordre ai Og ... a i ak ... an (*) et aux colonnes Tordre fii /?2 ... p \ fi^^ ... pn . Le nouveau déterminant D', représenté par

fil Pi ' » fii Pv ... fin

Qi a^ , . a\ ak ... a»

est égal à 4 D ou à — D, suivant que son terme principal

fait partie de D avec le signe + ou avec le signe — ; ce signe est celui de ( — \f^+^\ // et /u' désignant respectivement les nombres des dérangements que présentent les permutations

a, Gi ... ai ak ... an , fiifit . . fiifik ... fin .

n Cela veut dire que la ligne qui occupait le rang a^ devient la première, celle qui occupait le rang ag devient la seconde, etc.

Or, les combinaisons a^a^ ... ai et au ... an , que nous supposons ordonnées, ne présentent aucun dérangement. Mais les éléments de a^ a^ ... Oj forment avec ceux de Ok Ck^-i ... an respectivement

inversions ; car la combinaison ay ak+i ... an renferme tous les nombres plus petits que a^, tous les nombres plus petits que ag à l'exception de a,, tous les nombres plus petits que Og à l'exception de a^ et a^, etc. Il résulte de là et par analogie que

// = (a, -I Oa -h ... t Oi )

/i' = (A -\ fi. + ... + i^i) donc si l'on pose

a, -1 as 4- ... 4 ai -| /^, + /S, + ... + (ii - /w,

on a

Par conséquent D' = (— l)mD.

Cela posé, le développement de D' (58) comprend le produit des déterminants partiels complémentaires

A A - Pi

Pk ... fin «k ... an

de sorte qu'une partie du développement de D est (— 1)^^^'.

Mais si l'on remplace la combinaison (ii yî, ... pi successivement par toutes les combinaisons des nombres 1, 2, ... n pris / à /, on aura, sans omission ni répétition, tous les termes de D. Donc

D H (— l)mdô\

Par exemple, le déterminant

est égal à

rf,

ÛI

rf.

fls

rf*

rfa

rfl

rf,

rfa

rfs

Remarques. — I. (— l)mi' s'appelle le cof acteur de b,

II. Un théorème analogue a lieu pour les colonnes de D partagées en deux tableaux de / et de /z — / colonnes.

60. Corollaires. — I. Si les éléments communs à i lignes et an — i colonnes sont nuls, le déterminant se réduit au produit de deux déterminants. Par exemple

Ui bi Ui b^

Réciproquement, le produit de deux déterminants dont les ordres sont respectivement p et q^ peut se mettre sous la forme d'un déterminant d'ordre p \- q,

II. Si les éléments communs à i lignes et à plus de n — i colonnes sont nuls, le déterminant est identiquement nul.

Remarque. — Le théorème (59) généralise la première propriété des mineurs (47). On généralise la seconde en remplaçant une ou plusieurs lignes du tableau T' par un nombre égal de lignes du tableau T pour composer les déterminants partiels désignés ci-dessus par d\