DD

d'où D' - D"->.

-Dn,

63. Théorème. - Soit D' le réciproque d'un déterminant D, d'ordre n. Un déterminant partiel, d'ordre i, de D' est égal au produit de D*-^ par le cofacteur du déterminant partiel correspondant de D.

Considérons, par exemple, le déterminant

a», Un

Un déterminant partiel du réciproque D' de D est

mettons-le sous la forme (60, I):

Ail Ali Ai3

Aïi Aïï Aa-i — A.HI Aa-i A:ia

Ai8

Aas A33

Ajj*

Ai5 Aîi5

AjiA

En faisant 1

e produit

dej

trouve (47)

Da=-

fls4

des déterminants (1) et (2) on

(Isf,

ÛM

fl.w

Lorsqu'il s'agit d'un déterminant partiel de D' dont les lignes et les colonnes ont des rangs quelconques, on permute d'abord les lignes et les colonnes de D' de manière que celles qui entrent dans le déterminant partiel considéré, deviennent les premières : on dispose ensuite les rangées de D dans le même ordre que les rangées homologues de D' ; ce qui change D en (- l)"iD, m ayant la signification indiquée (52). La démonstration s'achève alors comme ci-dessus.

64. Corollaire. — Soient A'n , A'12 •.. les mineurs du réciproque D* d'un déterminant D, d'ordre n. Le théorème précédent donne

A'n - D"-2fl„, A'.. = D"-2a

Donc, les mineurs de D sont proportionnels aux éléments correspondant de D.

65. Propriétés des déterminants nuls. — I. D'après les théorèmes (63) et (64), lorsqu'un déterminant est nul, son réciproque D' et tous les délerminants partiels de D' sont nuls,

II. Supposons que D soit nul sans que tous ses mineurs soient nuls. Alors en appliquant la propriété précédente aux déterminants partiels qui se déduisent des deux lignes

Ari Ar2 Ar3 Asl As2 As3

^riî

^sn;

on trouve les proportions

Am Asl

'rn

^ns

Donc : Lorsqu^un déterminant est nul, les mineurs relatifs aux éléments (Tune rangée sont proportionnels aux mineurs relatifs aux éléments homologues (Tune rangée parallèle,

m. Pour qu'un déterminant D soit nul, il faut et il suffit quHl existe une même relation linéaire homogène entre les éléments de chaque ligne ou de chaque colonne.

Nous ne considérons que le cas où les mineurs de D ne sont pas tous nuls; par exemple, quelques-uns des mineurs Ari, Ar2,... sont différents de zéro.

La condition est nécessaire : car d'après la propriété des mineurs (47), si D = 0, on a

fin Asi ^ ûrt As2 + . . + «m Asn = 0. (r = 1, 2, ... n)

même pour r ^ s. Elle est suffisante; en effet, si

^1 fin + k an I ... V K Um = (*)

pour /• = 1, 2,... n, multiplions la première colonne de D par Aj et ajoutons-y les suivantes multipliées respectivement par A2 , ^3 , ... ^1 ; les nouveaux éléments de la première colonne étant nuls en vertu des relations (1), on a nécessairement D = 0.