Théorème. — Soient A„, A

déterminant D d'ordre n. O/z a

fes mineurs d'un

r ^/ s recevant successivement toutes les valeurs 1, 2, 3, ... n. En effet, développons (Dî') suivant les éléments de la dernière colonne; en appelant B,, B^, ... Bn ses mineurs relatifs à jc^, jCg, ... Xn , nous aurons

(Dx =^ X\ Bi f X2 B2 4- ... + Xr Br 4 ... + JCn Bn .

Désignons par Dr le déterminant qu'on déduit de D en remplaçant la /* ligne de D par la suite x\j x\^ jc'n . On a

Br = — Dr ; car si l'on échange dans (Dî*) la a* ligne et la dernière, Xr devient le dernier élément et le mineur correspondant est alors égal à Dr , mais (Dî*) a été multiplié par — 1. On peut donc écrire

(Dï.) = — (x, D, -\ X, D, + ... f Xr Dr + ... + Jc„ D„ ). (2) Or

Dr ~- Xi Ari -r JCo Ar2 i~ ". i~ .^ s Ars t ••• ~T -^n ^m\ [y]

en substiturnt cette valeur et les valeurs analogues de D„ Dj, ... on trouve la formule (1).

68. Corollaire. — Si le déterminant D est nul sans que tous ses mineurs soient nuls, le déterminant bordé (Dï») est un produit de deux facteurs linéaires.

En effet, si D - 0, on a (65, I)

A ri Ar2 Ar3 Am

•'»ii •'•la •'»i» •*»lii

d'où, en désignant ces rapports par Ar :

Les égalités (3) et (2) du § précédent donnent alors

Uf - Akf (Jf lAii + 3C^Aiï + ... + JC n Ain) = ^r i-'i >

(DÎO - — Di(aCiAi + X,k, + ... + OCnAn).

Remplaçons les quantités k par les valeurs

f An , A:ii , A:ji

r\ii /\ii /An

il vient

(DxO-— T-lx'iAn t-x',Ai,-| ... I x'nAi„)(XiA„+a:,A,i + ...+JfnA„i).

69. Un déterminant doublement bordé (D?yO donne lieu à une remarque curieuse et utile, quand on applique le théorème (63).

Car, les mineurs qui correspondent aux éléments du

carré final q q étant les déterminants simplement bordés

(Dïo -(d;;o, -(dî.), (d;o,

forment un déterminant partiel du réciproque de (Dj^yO:

(D];,) -(Dj.)

et le cofacteur du déterminant partiel correspondant de (Dï^yO est précisément D. Donc

(DJO (Dî.) - {D}) (DÏO = DlDj^yO.