DÉTERMINANTS SYMÉTRIQUES

70. Un déterminant est dit symétrique lorsque tout élément Un est égal à son conjugué ûsp

NEUBERO. - Algèbre. 4

= fr\y

(Dl) (DJ.) - (D;.) (PI),

Les mineurs A^, Asr d'un tel déterminant étant égaux, le réciproque d'un déterminant symétrique est lui-même symétrique.

Soit D un déterminant symétrique nul. On a (65, I)

Au Arl

Air

= -T^, d'où A,r — An — y An A

rrf

rr

le radical étant pris avec un signe convenable.

Si Ton borde le déterminant symétrique nul d'une colonne et d'une ligne, la relation (68)

A„(D![0-— (x'iA„+ac',A,, + ... + j:'nAin)(xAi ^ >^»A« + ... + x„A„i), à cause des égalités (1), prend la forme

(DÎO = — (x'i |/An + x\^k^ + ... + x' „ vA„„) (X, V An + x,yA« + ... + x „ )/A„„) ;

les radicaux ont respectivement les signes de A„, Ai„ ..., Am. En particulier, si jc'r = Jc r , on a

(Dï) - — (X.f An + X^\'k^ + ... + X„VA„n)«.

71. Déterminants symétriques gauches. — Un déterminant est dit symétrique gauche lorsque les éléments conjugués sont égaux et de signes contraires et que les éléments diagonaux sont nuls. Tels sont les déterminants

Tout déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul ; car si on multiplie chaque colonne par — 1, on obtient le déterminant transposé, et comme le déterminant proposé change seulement de signe, il est égal à zéro.

Etant donné un déterminant symétrique gauche^ les mineurs relatifs à deux éléments conjugués sont égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires^ suivant que tordre du déterminant est impair ou pair. En effet, on passe de A rs à Asr en transposant Ars et multipliant ses colonnes par — 1.

Tout déterminant symétrique gauche (Tordre pair est le carré d'une fonction rationnelle des éléments. Pour plus de facilité, nous considérons un tel déterminant sous la forme

Xi Xi

Xn