OC

avec les hypothèses Un = a««... -= «nn = 0, Un -= — ûsr. Posons

uni a^t ... ûnn

et appelons A„ , A,^,... les mineurs de D; comme D est sysmétrique gauche et d'ordre impair, il est nul. En appliquant une propriété des déterminants symétriques nuls, bordés d'une ligne et d'une colonne (70), on trouve

à --'- - (Dî) - {Xx \' Axx \- x,^ A^ + ... -h jc„ y A„„)*.

Mais A„, A«, ..., Ann sont des déterminants gauches d'ordre /î— 1; donc si le théorème est vrai pour l'ordre /i— 1, il est vrai également pour l'ordre n + l. Or, le déterminant gauche du second ordre est de la forme

donc la proposition est démontrée.

Exercices et notes.

Nous désignons ici par Li, L^, ... les lignes, et par C„ Q, ... les colonnes d'un déterminant.

1 . Le nombre total de dérangements contenus dans toutes les permuta-

tions

de n éléments est égal à ^CSPn.

2. Les permutations ai a-i ... flp bx b^ ... ^q, bx b-i ... bq ai a* ... ap sont de la même classe ou non, suivant que ( — 1)M est positif ou négatif.

3. Dans le déterminant dn 5c ordre, trouver les signes des termes

4. Trouver le signe du terme qui correspond à la seconde diagonale d'un

déterminant d'ordre n. Réponse: celui de ( — 1)2"^" '.

5. Trouver la valeur numérique du déterminant {carré magique)

abc a + m b + m c \ m a ^n b-\ n c \^ n

a a -|- a a-\- na b b-\-fi b + n(i c c + Y c+ny