Le circulant dont la première ligne est

fl, a V r, a -\- 2r, ... a -\- n—\r

2L pour expression (— l)<"-'>/Z"-2rn-ïS,

S étant la somme des termes d'une ligne du déterminant.

26. Soit un déterminant quelconque d'ordre n. Formons les combinaisons ordonnées des nombres 1, 2, ... n pris / à /*, et désignons-les par

Yit y^f Ys ... ymf où m = c?-

Soit on le déterminant partiel de D formé avec les éléments communs aux lignes et aux colonnes dont les rangs sont, rsspectivement, les éléments

des combinaisons }'r 6t ys ; soit aussi ô'n le cofacteur de ^rs- Si l'on pose

tm

Ômi à

^mi

ma •••

mm

^11 ^12 ••• ^ im O 21 o 2a ••• ^ 2ni

d mi O m9 ••• V

ma

mm

on a ^ J' - D"», J = Di", J' ^ D»"-i", où /^ = CîZ;, 27. Considérons les tableaux rectangulaires

du

ûim+i

d'if n-|-i

Ail Aiî

^ni

fln^

'ni

'na

ûn,n+i

comprenant /ï lignes et, respectivement, n -{- \ ci n - \ colonnes.

Appelons Ap le déterminant obtenu en supprimant la p^ colonne du premier tableau, et Bp le déterminant obtenu en écrivant cette y^e colonne à la gauche du second tableau. Cela posé, démontrer la relation

Al Bi - A3. + A. Bh... + (-!)" A„+i B„+, = 0.

En effet, si l'on considère les déterminants

Ui On On ... ^i;n-i Ui On O^ ... O^f ij — I ^» ^81 ^32 •" ^stn-i

Cl G<i •..

Un Cl\-i •••

fli,nH-i

dix Q'n ...

uni uni

ûn,n+i

^n ^ni ^n« ••• *^a,n-i

les mineurs du premier relatifs aux éléments c,, r^, c^, ... sont A^, - A^

A3...; appelons ^i, ^-, ..^n les mineurs du second déterminant, relatifs aux éléments dx, di, ... rfn. Nous aurons

Ajoutons les égalités analogues après les avoir multipliées respectivement par Ai, - A2, As, ...; les coefficients de ^1, ''a, ^3, ... seront nuls.

- JC

= {ax — ôy + czf.

- X* + jc^ 2" a? + (af— be + cdf.