Système de n équations du premier degré à n inconnues
Nous considérons un tel système sous la forme
ar\X, H ûrtX, + ... + ûmJCn — 6r = 0, (f = 1, 2, ... n),
Xif x«, ... Xn étant les inconnues et «„, 6r des nombres donnés. Soient X„ X^, ... Xn les premiers membres de ces équations :
Xi '^£ CluXx + ûiiJCï -f- ••• + û^lp^p h ••• + ÛinJCn — 6i, Xa ^^ ûïi^i + ûwJCï 4" ... 4 Û2p3(rp + ... + (l2nXn — Ôjj,
Xn = ^nl-^i + ûna-^ï 4" ••• + û^np^p "1 ••• + ^nn^n — ^n
le système proposé sera Le déterminant des coefficients des inconnues :
^11 ^IS ••• **lll
uni ûrn2
nn
est appelé le déterminant du système (2) ; nous représenterons les mineurs de D par Au, A,«, ....
73. Théorème. — Un système de n équations du premier degré à n inconnues dont le déterminant D n'est pas nul, admet une solution et n'en admet qu'une seule. Les valeurs des inconnues ont pour dénominateur commun le déterminant D ; le numérateur de chaque inconnue est le déterminant qu'on obtient en remplaçant dans D les coefficients de cette inconnue par les termes connus correspondants, ceux-ci étant supposés écrits dans les seconds membres des équations.
Ajoutons membre à membre les identités (1) multipliées respectivement par les mineurs relatifs à une même colonne de D,
quantités qui ne sont pas toutes nulles puisque D 7^ 0. Il vient
AipXi -|- A2pX2 -f- ••• T" AnpXn
:(ûiiAip + fl2iA2p + ...)^i4 (ûi2Aip + a22A2p + ...):«2 + ... I- (aipAip + a2pA2p + ...)Xp + ... — (éi Aip + ^2 A2p + ...).
Dans cette nouvelle identité, le coefficient de Xp est égal à D (47) et ceux des autres inconnues sont nuls ; la quantité
6,Aip + 62A2P + ... + *nA
np
est le déterminant D où la p^ colonne est remplacée par A„ Ag, ... bn f désignons-la par Dp . L'égalité (3) se réduit donc à
A,pX, + AîpXg + ... + A„pX„ E^ Dxp — Dp. (3')
Remplaçant p par 1, 2, ... n, on voit que les identités (1) entraînent les suivantes :
AnXi + A21X2 + ... + A„iX„ = DjCi — Di,
AigXi 4" A20X2 + ••• + An2Xn = DXg — Dg,
AinXi + A2nX2 + ... + AiinXn = DXn — Dn .
Donc, s'il existe des valeurs de x^, x^, ... Xn qui vérifient les équations (2), ces valeurs vérifient aussi les équations
Dxi — Di = 0, Dxg — D2 - 0, ... Dxn — D„ -^ 0. (5)
Comme D / 0, le système (5) admet une solution et une seule :
Il reste à montrer que ces nombres satisfont au système (2). A cet effet, ajoutons membre à membre les identités (4) multipliées respectivement par les coefficients des inconnues de l'une des équations données,
quantités qui ne sont pas toutes nulles. Dans l'égalité résultante, le coefficient de Xr est
ûrlAri + ar2Ar2 + ... + «rnAn, =- D,
et les coefficients des autres quantités X sont nuls (47) ; donc
DXr =ari {Dx, — Di) + ar2{^x^ — De) + ... + an,(D.«„ — D).
Cette identité montre que les valeurs (6) vérifient Téquation Xr = 0; comme on peut faire r -= 1, 2, ... n^ elles satisfont au système proposé (2).
