Remarques. — I. Supposons

les équations (5) ont la forme Dxr -- 0. Donc un système de n équations linéaires et homogènes à n inconnues dont le déterminant n'est pas nul, admet la seule solution

Xi = 0, x« =- 0, ... Xn = 0.

II. Supposons D = 0, Dp / ; le système (2) est impossible. En effet, l'identité (3') se réduit à

AipXi + A2pX2 4~ — "t~ AnpXn ^ — Dp ;

on en conclut qu'il ne peut exister de valeurs de x,, x,, ... Xn annulant à la fois X„ X^ ... Xn .

75. Théorème. — Etant donné un système de n | 1 équations du premier degré à n inconnues, si n de ces équations admettent une solution unique (ont un déterminant différent de zéro), la condition nécessaire et suffisante pour que cette solution vérifie l'équation restante, est que le déterminant formé avec les coefficients des inconnues et les termes connus des n + 1 équations soit nul.

Soit le système

Xi - 0, Xo = 0, ... X„ - 0, Xm -- 0, {m = n -f 1)

où Xr =- - ar\X^ -\- a X^ + ... + UmXn — *r .

Posons

ûll

ûln

uni

Ûn2

^ml

Ama

Û^mn

bm

Si l'on multiplie la dernière colonne de à par — 1 et qu'on y ajoute les autres colonnes multipliées par des nombres quelconques x„ Xt, ... Xn , on trouve

au

Ûn2

«nn

dml

dm!

ûmn

Prenons pour (Xi, Xj, ... Xn) la solution unique qu'admettent, par hypothèse, les équations

et soit D le déterminant du système (2); l'égalité (1) devient

A = ^ DXm.

On en conclut que si la solution des équations (2) vérifie également l'équation Xm -- 0, on a J -- ; réciproquement, si A -= 0, l'équation Xm = est compatible avec le système (2).

Remarque. — En sousentendant la condition D / 0, on énonce souvent le théorème précédent sous la forme incomplète :

Pour que r\ + \ équations linéaires à n inconnues soient compatibles, il faut et il suffit que le déterminant formé avec les coefficients des inconnues et les termes connus soit nul.

Equations homogènes.

76. Un système d'équations homogènes en ac„ x^ ... Xn admet toujours la solution

X, = 0, X. - 0, ... Xn = 0,

que Ton nomme la solution zéro. On fait souvent abstraction de cette solution, et Ton dit même que le système est impossible quand il n'a pas d'autre solution.

Si le système admet la solution (a», a^, ... an), il admet aussi la solution (Aa„ Aa», . . Aan), quel que soit A. Ces solutions sont considérées comme une seule, que Ton représente par les proportions

Xi X^ Xfi

Si l'un des conséquents est nul, l'antécédent correspondant est également nul.

Un système non homogène peut être rendu homogène en remplaçant les inconnues Xi, x^, ... Xn par

Xx Xt Xn 1 ; ...

Xn+1 Xn-l-i Xft-i-i

XiHhi étant une inconnue auxiliaire à laquelle on peut donner une valeur quelconque autre que zéro.

Nous allons adapter les théorèmes (73) et (75) aux équations linéaires homogènes.

77. Théorème. — Etant donné un système de n équations linéaires homogènes â n i 1 inconnues:

Xi -^OnXx -i a,8X,4- ... + a]nXn + aim^in= 0, X, ^ a« X, + fl«X, + ... + a2nX„ + a2nXn= 0,

Xn ^-= ûnlJfi + ûn2Xï -f ... } ûnn^n + ûnn^m =^ 0,

OÙ m est écrit pour n -h 1, désignons parD^, D., ... Dm les déterminants qu'on déduit du tableau des coefficients

uni Ûn2

en supprimant la 1 ^% la 2^,

ûtln ûlm Û2n a2m

ûnn aiixti

. . /fl me colonne. Si l'un de ces

déterminants est différent de zéro, le système proposé admet une solution unique, représentée par les formules

Supposons Dm ^?■ 0, et considérons le système