XX X
ûrl-~- + ûr2— "+ •.. +flni-^+ ûnn = 0, {r= 1,2, ... /Z)
qu*on obtient en divisant les équations (1) par JCm. Les inconnues
Xi Xo Xfi
ont des valeurs déterminées (73), dont le dénominateur commun est le déterminant Dm du système et dont les numérateurs se déduisent de Dm en remplaçant la !»■«, la 2«, . . la we colonne par la suite — Uim, — atm, . - , — ûnm. Représentons les coKonnes du tableau (T) respectivement par CtfC^f ... Cm et dénotons un déterminant formé avec n de ces colonnes en écrivant entre deux traits verticaux les symboles de ces colonnes; la solution prend alors la forme
X\ I Cm C-iCs ... Cn |
^2 __ I CtCmCs ... Al I pf p^
En échangeant la colonne Cm successivement avec chacune des suivantes, on trouve
\ CmCtCsC^ "• Cn \ -— ( 1; | C^C^Ci ,., Cn Cm\ '— \ */ ^it lA^mCaC*...^! -= (— 1)"-«| CiC^C,,,.CnCm\ - (— l)"-2Dj, etC
Donc
Y ~^ ' D X ~~^ ' n ' '" JC D
■*ni '-'m ■*în *-'ni ■*in ^m
Ces égalités conduisent aux proportions (2).
Exemples. - I. a^x + b^y \ r,2 - 0,
Ce système admet la solution
\ b, c,\ — I ûi A I I «i *i I
ou
bxC^ — biCx c^a^ — c^x dibi — dbt '
pourvu que l'un des dénominateurs soit différent de zéro.
a,x + b,y + c,z + d,u - 0, IL a^ + bty -^c^ + d^u^ 0^
ttiX + b y + CfiZ + dnU -- 0.
La solution de ce système est
\ bi Cl di \ \ di Cl di \ I Ui bi di\ \ Ui bi Ci \ pourvu que l'un des déterminants soit différent de zéro.
78. Théorème. — Etant donné an système linéaire homogène den + \ équations £Î n 4 1 inconnues, si n de ces équations admettent une solution unique autre que la solution zéro, la condition nécessaire et suffisante pour que cette solution vérifie V équation restante, est que le déterminant du système proposé soit nul
Soit le système
Xi -^ flnXi + Ui^t + ... + ûinXn + ûi^Xm = 0. X, ^^ a«Xi + a«X, + ... + Ojn^n f fl«n^m ^ 0.
Si l'on
suppose
au
an
fl21
an
àn\
Ûn2
Onu
les n premières équations du système admettent une solution unique autre que x, - x, - ... = x,„ -- 0. Pour que cette solution vérifie la (n + l)e équation, il faut et il suffit que l'on ait
a\\ Un ... ûln ûlm
Û21 Û22 ... Û2n Û2II1
uni Ûn2 ••• Ûnn ^mn
En effet, désignons par A le déterminant (1). Si à la dernière colonne de J multipliée par r™, on ajoute les autres multipliées respectivement par Xi, x,, ... r„ (ces nombres x sont quelconques), on trouve
XmA^:2
Û2n Xj
ûnn Xn ûmm X
Soient A„ Ao, ... -In, ^m les mineurs de J relatifs à la dernière colonne; l'égalité (2) donne
Xm^ ^ ^iXi + AgXo -\- ... + Xt, Xn + ^mXtn. (3)
On en conclut que la solution qui vérifie les équations Xi = 0, Xg 0, ... Xn --- 0, satisfait également à Téquation Xm - pourvu que Ton ait A 0; et réciproquement
Remarques. — I. Dans le cas considéré, il existe entre les fonctions X une relation linéaire
AjXi -f- À,.t\^ -\- ... -|- AmXm U,
qui aura lieu pour toutes les valeurs des variables x„ x„ ... Xm ; autrement dit, ces fonctions ne sont pas indépendantes. II. Si /4 / 0, la seule solution du système proposé est la solution zéro (74, I).
79. Sttf les systèmes rectangulaires nuls. - Pour fixer les idées, considérons cinq équations à trois inconnues :
a,x, I ajc. I ûtfXa - 0, 6,x, + b^. + 6P^.. 0, r,x, + c^x^ V c^n = 0, rf.x, \- d^., I d-Xj ==- 0, e,x, -h e^, i e,x, ^ 0.
Supposons que les deux premières admettent une solution autre que la solution zéro : ce qui exige que l'un au moins des déterminants
fli
soit différent de zéro. Pour que cette solution vérifie également les équations (3), (4) et (5), on doit avoir (78)
fll
as
bs
Cy
Cs
Œi Ut Us
bx bi ba
di (U ds
(Il a^ Us bi bt bi
€i €<i Cs
Mais alors les systèmes formés par les équations (2), (3) et (4) ou (2), (3) et (5), etc., admettent une solution non nulle ; par suite
bi bt ba
Cl C% Cs
di dt ds
bx bt bs
Cl Ci Cs Cl €% €s
=■ 0, etc.
On indique toutes les égalités (7) et (8) en écrivant
fli by Cl di Cl
Cl'i O^ C^ Q"i C^ (*s Os Cs tf s Cs
cette notation signifie que tous les déterminants formés avec trois colonnes quelconques du tableau sont nuls. Il y a Q de ces déterminants ; mais il n'y a que trois égalités distinctes, pour lesquelles on prend, par exemple, les égalités (7).
Réciproquement, étant donnée l'égalité (9), si les déterminants (6) dérivant de deux colonnes du tableau (9) ne sont pas tous nuls, on peut écrire les égalités (1) — (5); autrement dit, il existe une même relation linéaire homogène entre les éléments d'une même colonne.
80. Applications géométriques. - I. Cherchons l'équation de la circonférence passant par trois points donnés Ai, Aa, As. Soient (jci, yi) , (jc«, y%\, (JCs, y^) les coordonnées rectangulaires de ces points, et
x'-l / =^ax + by-\- c
l'équation du cercle. On aura les égalités de condition
x\+y\ = aXi-\- byi + r, j
A -\-yi = aXs-\- bys 4- c, J
qui servent à déterminer les paramètres a, b, c. Pour que le système (2) admette une solution, il faut et il suffit que le déterminant | JCi ^'i 1 | soit
NEUBERO. - Algèbre. 5
différent de zéro, ou que led points Ai, Ai, As soient les sommets d'un triangle proprement dit. Si cette condition est vérifiée, on a
Il reste à porter ces valeurs dans l'équation (1), ce qui revient à exprimer que les équtions (1) et (2) sont vérifiées par un même système de valeurs des inconnues a, b, c. L'équation cherchée est donc (76)
xï -f f,
xi -\- y.
xi + yf,
II. Attribuons les coordonnées courantes x, y k viti point déterminé A de la circonférence, et développons le déterminant (3) suivant les éléments de la première colonne; si S, Si, Sa, Ss, désignent les aires des triangles Al Aa As, Aï As A, Ay A Ai, A Ai Aï prises avec des signes convenables, il vient
OA . S — OA i.S, I OA,.Sï — OAs. Ss = 0. (4)
Cette égalité exprime une relation nécessaire entre quatre points d'une circonférence et un cinquième point quelconque O. Remplaçons-y O successivement par quatre points quelconques O, Oi Oi, Os et éliminons S, Si, Ss, Ss entre les équations ainsi obtenues ; nous aurons l'équation
