OB — OA = AB = OC = OB+ BC

On en conclut que retrancher un vecteur OA revient à ajouter un vecteur BC de même longueur et de direction opposée; on peut donc écrire + OA = — AO.

Si a désigne un vecteur quelconque et m un nombre proprement dit, ma représente un vecteur de même direction que a et dont la longueur est à celle de a dans le rapport m:\] si m était négatif, on prendrait le second vecteur dans la direction opposée.

Les notions qui précèdent, conduisent à une autre interprétation géométrique des imaginaires. Z étant le point représentatif de Texpression z = a -{- bi {fig. 2), on dit aussi que y imaginaire z est représentée par le vecteur OZ, dont la longueur est égale au module r et dont la direction est déterminée par V argument o. Ce vecteur est la somme des vecteurs OP et PZ; ceux-ci sont représentés par a et par bi si Ton convient de désigner un vecteur situé sur OX par le nombre qui le mesure (affecté du signe + ou — suivant son sens), et d'indiquer par la lettre / un vecteur de longueur 1 et dirigé suivant OY.

Addition et soustraction des imaginaires.

11. Somme ou différence de deux imaginaires. — Soient les imaginaires z = a + bi^ z' = a' \ 67, représentées par les vecteurs OZ, OZ' (fig. 6). D'après nos conventions (5),

La somme z -\ z* est représentée par la diagonale OA du parallélogramme construit sur OZ et OZ'; car le sommet A

Fig. 6.

Fig. 7.

a pour coordonnées

jc = OQ = OP t ZR=OP -\- OP = û t a\ ;; = QA = PZ t RA = PZ I P'Z' = 6 + b\

De même, si l'on prolonge Z'O de OZi = OZ', la diagonale OB du parallélogramme construit sur OZ et OZi représente la différence z — z\ On voit que l'addition et la soustraction des imaginaires correspondent aux opérations de même nom effectuées sur les vecteurs correspondants.

1 2. Théorème. — Le module de la somme ou différence de deux imaginaires est, en général, compris entre la somme et la différence des modules de ces imaginaires.

En effet, les modules des imaginaires z, z',z f z' {fig, 6) sont égaux aux côtés du triangle OZA, et le côté OA est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence. La démonstration est la même pour z — z*.

Cependant, si les vecteurs z et z' ont même direction, on a

\z I- z' I = ' z I z' ^^ ' z — I z" I , en supposant | z > z' ; s'ils ont des directions opposées,

13. Somme de plusieurs imaginaires. - Soient, pour fixer les idées, OZ, OZ', OZ" {fig, 7) les vecteurs qui correspondent aux imaginaires z, z\ z" ; la somme z \ z' -\ z"

est représentée par le vecteur OB qui va de Torigine à l'extrémité de la ligne brisée OZAB dont les côtés sont équipollents aux vecteurs donnés.

On voit facilement que le module d'une somme est au plus égal à la somme des modules des parties ; l'égalité a lieu lorsque les vecteurs représentatifs ont même direction.

Multiplication des imaginaires.

14. Théorème. — Le module d'un produit est égal au produit des modules des facteurs, et son argument est égal à la somme des arguments des facteurs.

Considérons d'abord deux imaginaires

z =-= r (cos e | / sin o), z' = r' (cos o' \- i sin o').

En tenant compte de la relation i^ = — l, on trouve

^^' = /•/ [cos ô cos o' -— sin e sin o' \ i (sin o cos e' + sin o' cos o]

= // [cos (e t e') -\ /sin (o [- o')].

Il en résulte :

mod (^^') = rr', arg {zz') = | 0'.

Le théorème est donc vrai pour deux facteurs; on l'étend facilement à un nombre quelconque de facteurs.

15. Remarques. — I. Pour démontrer la première partie du théorème, on peut aussi considérer le produit

(a \- bi) {c I di) {ac — bd) + {ad \ bc)i\ il a pour module

i~(ac—bd)'\(ad~\bcY y(û^' t b')((f \ d%

et les modules des facteurs sont /a- | 6', jV' t d\