II. En changeant 6 en — 6, on peut écrire

{a' \- b') {â -\ d') {ac f bd)' \ {ad ± bc)' ;

il en résulte que le produit de deux nombres, égaux, chacun, à la somme de deux carrés, est égal à la somme de deux carrés,

La décomposition en deux carrés peut même se faire, en général, de deux manières.

Plus généralement, le produit de plusieurs nombres égaux, chacun, à la somme de deux carrés, est égal à la somme de deux carrés.

L'hypothèse c -=^^ a, d ^ b donne la formule des triangles rectangles rationnels:

1 6. Théorème. — Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

Le théorème est évident pour un produit dont tous les facteurs sont réels.

Considérons ensuite, pour fixer les idées, un produit ^^'^" composé de trois facteurs quelconques. Pour qu'il soit nul, il faut et il suffit (7) que son module soit nul. Mais ce module, égal au produit des modules de z, ^', z*\ est un produit de facteurs réels ; donc, par exemple, | ^ | - 0, ce qui revient à ^ 0.

17. Représentation géométrique d'un produit. — Soient OZ, OZ' {fig. 8) les vecteurs des imaginaires

z r (cos h -\ i sin e), ^' - r' (cos o' -\- i sin e').

Fig. 8.

Prenons sur OX la longueur OU égale à l'unité ; OU est le vecteur unitaire. Si l'on construit le triangle OZ'A directement semblable au triangle OUZ, OA représente le produit zz\ Car