AA

/\<iÂ\ /\^j\i

AsA AaAi AaAj

AjAs

équation d'où l'on peut déduire que le produit des diagonales d'un quadrilatère inscriptible convexe est égal à la somme des produits des côtés opposés.

m. Soient A, A., A., A quatre points quelconques du plan et appelons D la valeur correspondante du déterminant (3); en développant comme ci-dessus nous aurons

D= OA'.S — OA'.S, I OA].Sj — OA3.S3. (7)

Il est facile de voir que la valeur de D est indépendante de la position de l'origine O; en effet, si l'on transporte les axes au point {a, fi), il faut remplacer x,y, Jc,, j»,, ... par jï -{- a, y -\- fi, x^ -| a, j», -\- fi,... Le déterminant (3) devient

\ x^ -i- y^ + 2ax + 2fiy -\- a-' -\- fi^ x+a y + fi 1|;

on retrouve sa forme primitive en soustrayant de la 2e et de la 3e colonne la 4e multipliée respectivement par a et par fi, puis de la Ire les trois

autres multipliées respectivement par 2 a, 2 fi, a* + fi^.

Cela posé, éliminons les quantités D, S, S,, S.„ S^ entre l'équation (7), les trois analogues qui correspondent à trois autres points O,, O^, O et l'équation

nous obtenons une relation.

OA OA. OA, ÔAs

1 ô^À* ôTâ! ô7a j 1 âÀ' ôIâ! cxâ

ô7âI

entre les distances de quatre points quelconques A, A^, A^, A^ à quatre autres points quelconques O, O,. O^, O^.

Si l'on fait coïncider les deux quadrilatères AAjA^Aj,, OOiO^O^, on trouve l'égalité suivante entre les côtés et les diagonales d'un quadrilatère, c'est-à-dire entre les distances mutuelles de quatre points d'un même plan :