Théorème de M. Rouché. - Soit
Xi z fljjXi \- ûjsXg 4 ... + a\mXm — ^i ^- 0, Xs ^ Û2iXi + «22^2 + - f- Û2m3Cin — ^2 -" 0,
Xn = flnl^^i f Ûn2^2 + - f ûnm^m ■— ^n = 0.
un système quelconque de n équations linéaires à m inconnues.
Considérant le tableau des coefficients des inconnues,
û^ii Ûi2 "• ûim
uni Ûn2 •" ûnm;
nous examinerons successivement différents cas.
lo n = m et le déterminant qui correspond au tableau (T) n'est pas nul. Le système (1) admet alors une solution unique (73).
2o n > m et un déterminant formé avec m lignes de (T) est différent de zéro. Soit, pour fixer les idées,
Un fli2 ... ûlm ^21 ^'Z2 ••• ^2in
ûml Û^m2 ... û
mm
ce déterminant comprend les m premières lignes de (T), Les équations correspondantes
y\i =- Vf y\o - U| ... Xm —
admettent alors une solution unique ; pour que le système (2) soit compatible avec Tune des autres équations, par exemple avec l'équation Xq - 0, (a = m + 1, m -\- 2, ... /i),
il faut et il suffit (75) que le déterminant
àa =
soit nul. Si l'un des déterminants ôa n'est pas nul, le système (1) est contradictoire.
3^ m > n et l'un des déterminants formés avec n colonnes de (T) n'est pas nul. Soit, par exemple,
«ni «n2
^nn
ce déterminant ; il comprend les n V^ colonnes de (T).
Nous pourrons résoudre les équations (1) par rapport aux n inconnues Xj, JCj, ...jc„ dont le déterminant des coefficients est différent de zéro (73). Les valeurs des autres inconnues restant arbitraires, le système proposé est indéterminé.
4*^ Supposons enfin que tous les déterminants formés avec m lignes de (T) si m ^ /ï, ou avec n colonnes s\ n ^ m soient nuls. Nous cherchons alors parmi les déterminants formés avec les éléments communs à un certain nombre de lignes et à un nombre égal de colonnes de (T), le déterminaut de l'ordre le plus élevé qui n'est pas nul. Soit
«ip
«pi «p2 ••• «pp
ce déterminant ; nous le faisons correspondre aux p premières équations et aux p premières inconnues (s'il n'en n'était pas, on ferait un changement de notations). Le nombre p, d'après nos hypothèses, est inférieur au plus petit des nombres m et /i ; de plus, tous les déterminants partiels déduits de (T) et d'un ordre supérieur à p, sont nuls. On dit que p est le rang du tableau (T) ou du système d'équations (1) ou du système des polynômes Xi, X^, . . Xn .
Nous nommerons & le déterminant principal (*) du système (1). Si le tableau (T) donne plusieurs déterminants d'ordre p qui sont différents de zéro, l'un quelconque d'entre eux peut être choisi pour déterminant principal.
n Cette dénomination s'applique aussi aux déterminants désignés par
i dans les deux cas précédents et au déterminant qui correspond au tableau (T) dans le premier cas.
Le système d'équations
X, ^ 0, X, = 0, ... Xp=
peut être résolu par rapport aux inconnues x„ x^, . . Xp dont le déterminant des coefficients est différent de zéro (73) ; les valeurs ainsi obtenues sont des fonctions des autres inconnues Xp-|.i, Xp-|.2, ... 3fn . Pour que les valeurs obtenues vérifient Tune des autres équations, par exemple l'équation Xa=0, il faut et il suffit (75) que le déterminant
yp
an, a
m ^a* ' ' ' ^ap J'a
soit nul, Yr désignant la quantité qui, dans Xr, représente la partie indépendante des inconnues x„ Xg, . . Xp, c'est-à-dire
yr =flr,p-|-lXp-|.i + ar,p-|.2Xp4.2 | ... + ûr,n — ^r.
Si Ton remplace les y par leurs valeurs, on peut décomposer le déterminant (3) en plusieurs autres (49) en réduisant la dernière colonne successivement à chacune de ses files ; tous les déterminants ainsi obtenus, à l'exception du dernier
àa =
br
^ai ^aâ . •
ûai) ba
sont nuls, car ce sont les produits de Xp+i,Xp4.2, ...x„ par un déterminant, d'ordre p \ 1, déduit du tableau (T). Donc, le système proposé sera possible^ mais indéterminé (les valeurs de Xp^.,, Xp4-2, . . Xn restant arbitraires), pourvu que Ton ait
ô^i =^0, dp4.2=0, . . an - 0. (5)
Il sera impossible si l'une des conditions (5) n'est pas remplie.
Les déterminants da ont reçu le nom de déterminants
caractéristiques du système (1).
En résumé : Pour que n équations à m inœnnues soient compatibles^ il faut et il suffit que les déterminants caractéristiques soient tous nuls. Dans cette hypothèse, le système a une solution unique ou il est indéterminé, suivant que le nombre des inconnues est égal au degré du déterminant principal ou lui est supérieur.
Cet énoncé s'applique aux quatre cas considérés.
82. Remarque. — Lorsque le système (1) est compatible, et que le degré du déterminant principal est inférieur au nombre des équations, les fonctions Xi, X.,, ... Xn ne sont pas distinctes.
En effet, considérons le déterminant
Xd
a\ ^at
... a^p Xq
et supposons qu'on y remplace les X par leurs valeurs explicites.
Si nous le décomposons en m ( 1 déterminants en réduisant la dernière colonne successivement à chacune de ses files, tous les déterminants obtenus sont nuls à l'exception du dernier qui est égal à — ^a- Comme b^ est nul, le
déterminant (6) Test également, et en appelant y^ , y^, -. yv les mineurs relatifs aux p premiers éléments de la dernière colonne, on peut écrire
yiX, 4- ^2X2 -\- ... + ypXp + ôXa = 0.
