Le système

X sin a + y sin 2a + z sin 3a = sin 4a, X sin 6 + y sin 2b + z sin 3b - sin 46, X sin r + j/ sin 2c -\- z çin 3f -= sin 4c,

2L pour solution

X ^ 8 cos fl cos b cos c + 2(cos a + cos b + cos ^), y = 4 (cos a cos 6 + cos b cos f + cos r cos a) — 2, z = 2 (cos a + cos 6 + cos c).

3. Trouver une relation entre les cosinus des angles d'un triangle. On élimine a, b, c. entre les relations a = ^ cos C + f cos B, etc

4. Trouver une relation entre le centre et quatre points d'une conique. Si le centre est l'origine des coordonnées, la relation cherchée est

xî

X,Jf,

xî

Xty^

Pour l'interpréter géométriquement, on observe que les mineurs relatifs

à la 4c colonne sont égaux à 5-OAïA3.0A3A4.0A4A2, etc.

5. Relation entre un foyer et quatre points d'une conique. On trouve -2* i: FAi .A. A, A4 =- 0.

6. Condition pour que les normales en trois points Ai(Xi,j;,),Ag(X2,3;2) A^{Xnfy^) d'une parabole (y"^ = 2px) passent par un même point.

Cette condition se présente sous la forme | 1 y^ py^ + Xiy^ | = ; on peut la ramener k y^ h ^2 + ^3 = 0, ou à ( jcf + yj x, J^i | ^ 0.

Donc, le centre de gravité du triangle A, A* A3 est sur l'axe de la parabole, et la circonférence circonscrite passe par le sommet de la conique.