PREMIERS ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS. FONCTIONS ENTIÈRES

Sur les limites.

84. Définitions. — On appelle limite d'une quantité variable X une quantité constante a telle, que la différence a — x, prise en valeur absolue, finisse par devenir et rester inférieure à une quantité e donnée à l'avance, si petite qu'elle soit. La variable x dont on cherche la limite, est toujours fonction

d'une ou de plusieurs variables indépendantes qui tendent vers des valeurs inaccessibles ; c'est pourquoi la limite a n'est pas une valeur même de x.

Une variable x est dite avoir une limite infinie, qu'on représente par + oo ou par — oo, lorsque sa valeur absolue peut devenir et rester plus grande que toute quantité donnée, le signe de x étant constant.

Si la variable n'a ni limite finie ni limite infinie, on dit quelquefois qu'elle a une limite indéterminée.

Pour généraliser certains théorèmes, on dit que la limite (Tune constante est cette constante même.

On appelle infiniment petit une variable qui a pour limite zéro.

Exemples. — I. La somme des n premiers termes de la progression géométrique a, aq, acf, ..., a pour expression

^ aq/^ — a a c^"

Examinons comment varie S lorsque n croît indéfiniment, a étant supposé positif.

Si la raison q est positive et moindre que l'unité, la quantité t-^— peut devenir et rester aussi petite qu'on veut.

Le terme :j étant indépendant de /i, S croît vers la

limite

Si ^ < et > — 1, la quantité est positive ou

négative suivant que n est pair ou impair, mais sa valeur absolue tend vers zéro. Donc S oscille autour d'une limite ^ •

Lorsque ^ ^ 1, S a une limite infinie.

Si ^ — — 1, on a

donc S = fl ou suivant que n est impair ou pair. Par suite, pour n croissant indéfiniment, la limite de S est indéterminée.