II. Considérons la fonction
Si X prend des valeurs positives et indéfiniment croissantes, y décroît constamment vers la limite 2.
Pour les valeurs négatives de x, de module indéfiniment croissant, y croît vers la limite 2.
La valeur x = 3 est inaccessible parce que le quotient d'un nombre par n'a pas de signification. Mais si l'on fait croître x de 2 vers 3, y passe par des valeurs négatives, de module indéfiniment croissant, et l'on dit que y a pour limite - (x>. Au contraire, si x décroît de 4 vers 3, y prend des valeurs positives, indéfiniment croissantes, et lim y = + c».
85. Nombres incommensurables. (*) — Dans la théorie des nombres incommensurables, la notion de limite se présente sous une forme particulière que nous expliquons d'abord sur deux exemples assez simples.
Soit à mesurer la longeur AB, l'unité étant CD {fig. 10).
Fig. 10.
Mil
Mil E B F
Si AB contient p fois CD, on dit que la mesure est l'entier p.
' Au point de vue pratique, les nombres rationnels suffisent à la mesure des grandeurs ; le problème pratique de la mesure d'une grandeur, de la longueur d'une droite limitée, par exemple, n'est pas complètement déterminé : on peut substituer à cette droite, qui n'est d'ailleurs qu'imparfaitement délimitée, une autre droite qu'on ne saurait discerner de la première: il y a une infinité de nombres rationnels tiès rapprochés les uns des autres, qui peuvent servir à mesurer la même grandeur; comme le résultat des opérations arithmétiques change très peu quand on change très peu les données, peu importe celui des nombres que l'on prend pour la mesure, lors même que ce nombre doit être soumis à certains calculs ff.
• Les nombres irrationnels sont une façon de pcuier plutôt qu'une réalité; cette façon de parler, qui condense en un seul mot l'infinité des solutions approchées, permet de donner une forme simple à des raisonnements parfaitement rigoureux.
(J. Tannery, Leçons d'Algèbre et d^ Analyse, t. I, p. p. 1 et 2).
Si AB contient p fois -de CD, la mesure est la fraction -•
Mais il peut arriver que pour aucune valeur de g, - de
CD ne soit contenu exactement dans AB. On dit alors que AB est incommensurable avec CD, ou que le rapport de AB à CD est irrationnel^ en entendant par là qu'il n'existe pas de nombre entier ou fractionnaire exprimant la mesure de AB au moyen de l'unité CD.
Partageons CD en g parties égales et portons Tune de ces parties autant de fois que possible sur AB. Si p de ces parties donnent la longueur AE < AB et qu'une partie de plus donne AF > AB, // est naturel de dire que la mesure
de AB est - par défaut, par excès, à moins de -.
Prenons maintenant pour g successivement des nombres
croissant indéfinitiment d'après une loi quelconque, par exemple g^ - 10, g.^ = 100, ^3 =- 1000, etc. ; nous désignons par El, Fi, E2, Fg, Eg, Fg, ... les positions correspondantes des points E, F, et p^T p^, p^, p,i, ... les valeurs correspondantes de p. Nous avons alors les deux suites de longueurs
/\L1i, /^Llg, /AlLg,
Ari, Ar2, Ar*;,,
ayant respectivement pour mesure
Pl.
Pl,
Çi
Pz 1- 1
Comme les segments EjFi, E^Fo, E3F3, ... contiennent toujours le point B et diminuent indéfiniment, les différences AB — AE„ AB — AE,, ... et AF„ — AB, AF, — AB, ... peuvent devenir et rester aussi petites qu'on veut. On peut donc dire que AB est la limite des longueurs (1) commensurables avec AB.
Les nombres (2) n'ont pour limite aucune fraction j- ;
autrement, si l'on prenait sur AB la longueur AO = r^D, les
points E„ Fi, Eo, Fo, ... devraient s'approcher indéfiniment à la fois de deux points distincts B et O.
Cependant, on convient de dire que les nombres (2) admettent pour limite un certain nombre incommensurabe^ mesure de la longueur AB.
Remarques. — I. La définition que Ton a donnée ci-dessus de la limite, est applicable aux suites (1), parce que la différence entre AB et un terme de ces suites est assignable géométriquement Mais elle ne s'applique pas aux nombres (1); car la mesure de AB n'est définie que par les suites (2) elles mêmes, de sorte que la différence entre la limite et la quantité variable n'a pas encore de sens.
II. Si ^2 = fftq^ {m entier), le segment E^Fg est intérieur au segment EiF,. Car si l'on porte sur AX la longueur
CD
, un point de division tombe en E,, un autre en F.
mq^ ' ^ i; 1
CD
puisque AE„ AF, contiennent p^ et (;;, + l)fois ou mp^
CD et m(p^ + 1) fois , et il tombera encore au moins un point
de division entre E, et Fi.
III. Une suite de nombres est dite monotone lorsque ses termes ne sont pas tantôt croissants, tantôt décroissants; autrement dit, les termes croissent ou décroissent constamment à moins que deux termes consécutifs ne soient égaux. Par exemple, des valeurs approchées par défaut ou par excès du nombre 0,69034 ... forment les deux suites monotones.
Si les nombres q^^ q^^ q^^ ... sont respectivement des multiples des nombres ^i, q^, q^^ ... chacune des suites (2) est monotone. Cela arrive quand ^i - 10, q> = 100, ^3 - 1000, ....
86. Il n'existe pas de nombre entier ou fractionnaire dont le carré égale 7. Mais on peut trouver des fractions dont les carrés diffèrent de 7 aussi peu qu'on veut.
En effet, soit p"- le plus grand carré entier contenu dans le nombre 7 ^^ ; nous aurons ''
f<lq^-<{p^ X)\ d'où ^; < 7 < ^^-^.
D'après ces inégalités, il est naturel de dire que la racine carrée de 7 est ^ par défaut, par excès, à moins de -.
On a, d'ailleurs,
^" < 9, d'où ^
car -- < 9, d'où ^ < 3 ; à plus forte raison
Cela posé, donnons à q des valeurs q^^ ç-, 93, ... qui croissent indéfiniment d'après une loi quelconque ; nous obtiendrons deux suites infinies de fractions
P\ Pz P^
9/ Qz' 93'
Pi H- 1 Pz ±i )P3 + 1
Les carrés de ces fractions ont pour limite le nombre 7, ainsi qu'il résulte des inégalités (3). D'après cela, on convient de dire que la racine carrée de 7 est la limite des nombres (4) dont les carrés ont \)0\xv limite le nombre 7.
