Pour généraliser, considérons deux suites infinies

ûi, a.,, (Za, ... (a)

bif ^21 ^:i. ••• (b)

jouissant des propriétés suivantes: tout nombre de la suite {a) est moindre qu'un nombre quelconque de la suite (é), et la différence bn — an de deux termes correspondants peut devenir et rester moindre qu'un nombre donné, si petit qu'il soit.

Deux cas peuvent se présenter :

lo II existe un nombre X (entier ou fractionnaire) plus grand qne tout nombre de la suite (a) et plus petit que tout nombre de la suite (b). Alors les différences A — «„ et 6n — ^ moindres que bn — fln, ont pour limite zéro quand n croît indéfiniment ; dont les suites (a) et (b) admettent une limite commune X (84).

2. S'il n'existe pas un tel nombre, on dit que les suites (a) et (b) définissent un nombre d'une espèce nouvelle, que l'on dit irrationnel ou incommensurable. Si on le représente par un symbole quelconque, par exemple par k, on dit que A est supérieur à ûn et à tout nombre plus petit que un, inférieur à bn et à tout nombre plus grand que ôn ; que les différences A — fl„ et 6n — A sont moindres que bn — an] enfin que A est la limite des deux suites (a) et (b) ou que les suites convergent vers X.

La représentation géométrique explique très bien ce langage- En effet, portons sur un axe (fig. 11) les abscisses

OAj = fli, OA2 = ^2, ..., OBj = 61, OB2 = 62, ....

Les points Ai, A.,, A3, ... couvriront une région de OXsur laquelle ne pénètre aucun des points Bj, Bg, . . . ; de même

Fig, u.