Opérations sur les nombres incommensurables

Soient A, l! deux nombres incommensurables définis respectivement par les suites infinies

ûi, ^2, Û3, 6„ 60, 63,

du ûfo, ûfa,

On suppose, comme ci-dessus, que a^ < 6p, Cn < dp pour toutes les valeurs de n et de p, et que les différences bn — fln dn — Cn tendent vers zéro à mesure que n croît.

Les deux suites

bi + rfi, bi + d.f bj + ds, ...

définissent également un nombre; car tout nombre de la première est moindre que tout nombre de la seconde, et la différence (bn {- dn) — {an + Cn) peut devenir et rester aussi petite qu'on veut. Le nombre, commensurable ou incommensurable, qui est défini par ces suites, est appelé la somme A + A'.

La différence A — X\ le produit XX\ le quotient p sont définies respectivement au moyen des doubles suites :

fl, —du Û2 — û?2, Û3 — ^3.

Oi Cif U.y Cof u-^ ^3,

bidu a,

El,

bodo,

bdd-3f

Les autres opérations peuvent être définies d'une manière analogue.

Remarque. Les propriétés des opérations fondamentales, exprimées par les égalités

x-\ X ^x+x, X 1- r + r = X -t- (x' I r), a 1-0 = a, >i— >i=o, xx - i% x(x'r) --= {xx')r, (x + x') x" - x/." + x'X" xx\ = x, XX" X x + x' X ^ X' X r xr x. ir xx"'

MM

sont applicables aux nombres irrationnels.

89. Théorème. — Lorsqu'une variable x croît sans cesse, sans pouvoir dépasser un nombre donné a, elle a une limite égale ou inférieure à a.

Les valeurs successives de x étant a^, a^, a^, ... prenons sur un axe OX (fig. 12) les abscisses

OA -= a, OAi =- ûi, OA2 ^ Uof OA3 -- ^3, ...

Fig. 12.