I III I I I I I
Par hypothèse, les points Ai, A^, A3, ... avancent constamment dans le sens OA. Si la distance An A peut devenir et rester aussi petite qu'on veut, x a pour limite a. S'il n'en est pas ainsi, divisons OAtnp parties égales ; nous pourrons distinguer une dernière BC de ces parties sur laquelle passe l'extrémité de Tabcisse x ; autrement dit, il existe une valeur de n telle que les points A„, An^-i, An-1-2, -. sont tous situés sur le segment BC. Divisons ensuite BC en p parties égales ; nous distinguerons encore une dernière B,Ci de ces parties sur laquelle passe l'extrémité de l'abcisse x. En continuant ainsi, nous obtenons des segments BC, BiCi, BgCg, ... dont chacun comprend le suivant et qui décroissent indéfiniment. Comme il ne peut exister qu'un point de démarcation L entre la région des points B, Bi, B2, ... et celle des points Ci, C,, C3, ..., la variable x a une limite représentée par O L.
90. Théorème. — Lorsqu'une variable x décroît sans cesse, sans devenir plus petite qu' un nombre donné a, elle a une limite égale ou supérieure à a.
Cette proposition se démontre comme la précédente.
Remarque. — Nous ne faisons qu'énoncer ici un caractère pins général de convergence des suites infinies de nombres, caractère qui renferme les deux précédents (89, 90) comme cas particuliers, à savoir :
Pour qu'une suite indéfinie de nombres
Ui, a>i, (Z3, soit convergente ou ait une limite déterminée, il faut et il
NEUBERC- Algèbre, 6
suffit que pour chaque valeur de e, quelque petite qu'elle soit il existe une valeur de n telle^ que Con ait
I flp — ûq I < fi,
pour toutes les valeurs de p et de q supérieures à n.
Théorèmes sur les limites.
91. Théorème. — La limite de la somme algébrique d'un nombre déterminé de variables est égale à la somme algébrique des limites de ces variables.
Pour fixer les idées, soient jc, y^ z les valeurs simultanées de trois variables (*), et a, b, c leurs limites. On peut poser
a, Pf y étant des nombres dont les valeurs absolues deviennent et restent aussi petites qu'on veut. On en déduit, par exemple,
Comme chacun des nombres a, /8, y peut devenir et rester
moindre, en valeur absolue, que ^ e quelque petit que soit e,
I a + p — y I peut rester moindre que £ ; donc x {- y — z tend vers une limite égale à a + 6 — r, et Ton peut écrire
lim (x +j; — z) =^ a + b — c = lim jc + lim j; — lim ^.
Remarques. — I. Le théorème précédent n'a pas de sens lorsque la somme algébrique des limites se présente sous la forme co — œ (symbole d'indétermination).
Par exemple, si x -= — — ^ > y =- — — ^ — u ti que Ton
fasse tendre u vers 2, on a lim jc = oo, lim j^ -= oo, mais lim (x — y) ^ 2.
II. Le théorème 91 peut être en défaut lorsque le nombre des variables croît indéfiniment à mesure qu'elles tendent vers leurs limites. Par exemple, il n'est pas applicable à la somme
/z ' /z + 1 ' /z + 2 ' *" ' 2n—\ pour n =- oo. Car cette somme composée de n nombres
(•) Elles sont supposées dépendre d'une ou de plusieurs variables indépendantes qui, elles-mêmes, tendent vers des valeurs inaccessibles.
snpéneurs à x- 1 est plus grande que ^ ou ^ ; cependant
chaque terme a poor limite 0.
92. Théorème. — La limite du produit d'un nombre déterminé de variables est égale au produit de leurs limites.
En effet, on a. avec les notations précédentes,
xyz --■ abc f aby + -. + a^y + ... + «jtfy.
Les termes qui suivent abc étant en nombre déterminé et tendant vers {*)i leur somme tend vers (91), et Ton a
lim (xyz) =-■ abc -= lim x x lim j^ x lim z.
Remarques. — I. Le théorème n'a plus de sens lorsque le produit des limites se présente sous la forme 0. oo ou oo. (symbole d'indétermination).
Par exemple, si x - w — 2, j; = — — ^ et que Ton fasse
tendre u vers 2, on a lim x - 0, lim j; = c», et comme xy =^bu + 3 pour tf 4= 2, on peut dire que le produit xy tend vers 13 lorsque u tend vers 2.
IL II peut être en défaut lorsque le nombre des factenrs augmente à mesure que les facteurs tendent vers leurs limites. Considérons, par exemple, le produit
n n+ 1 2n—\ 1 n+ Vn f 2 2n ~ V
quand n croît indéfiniment, le nombre des facteurs augmente et chacun d'eux tend vers l'unité.
93. Théorème. — Le quotient de deux variables x, y qui tendent vers des limites a, b, a pour limite -r •
Posons X -^ a -\- a^y ^= b-{- P) nous aurons
X a a -\- a a ab — afi ITb' b~+ }~b ~bJF+J)'
(*) Si tt est une variable qui tend vers zéro, le produit mu tend également vers zéro. Car | u | devient et reste moindre que tout nombre donné e ; par conséquent | mu \ reste moindre que | /«€ | et l'on peut avoir | /ne | < e',
On démontre -encore facilement que si « a pour limite a^ mu & pour limite ma.
A partir de certaines valeurs de x et y, la valeur absolue de ab — a^ reste inférieure à un nombre donné c, et la quantité b{b + /8) reste supérieure à b\ b' désignant un nom-
ob — a^
bre fixe quelconque plus petit que b^ ; la fraction restant inférieure, en valeur absolue, à -r? , on a
,. X a lim X
y b \\my
Remarque. — Le théorème précédent n'a pas de sens lorsque le quotient se présente, à la limite, sous l'une des
formes ^ou — qui sont encore des symboles d indétermination.
94. Théorème. — Si la variable x tend vers une limite a, xm a pour limite a»".
lo Si /7z est entier et positif, xm est le produit de m facteurs égaux à x; donc (92) limite x^ = a,a..,a - a^\
2o Si m -- — PtP étant entier et positif, on a (93) lim x~*'= lim -r,=^-^-^ a'^
X*' flP
30 Soit m =- —, p étant entier et positif. On a
vie- Va)\y:i^-'+ Vxp^a + ...+ ]/ cp-'J'
d'où
Vx-V^
VxP-i + l/xP-2fl-| ... + l/aP-i
Soit b un nombre fixe quelconque inférieur à a ; à partir d'une certaine valeur, x qui a pour limite a finit par rester plus grand que b et \ x — a \ par rester ipférieur à un nombre donné e, quelque petit qu'il soit.
Donc, à partir de cette valeur on a
Vx-Va\<-
on en conclut que lim Vx^Va.
40 Soit m = -, p tt q étant entiers ; nous aurons
/ p \q / P \q / p \q lim x"^ = lim [Vx) = [\\mVx) -= [Vaj=a^.
Remarques. — I. On peut encore démontrer que lim ^ = r^*"'^ lim (logjc) = log (lim x), lim xy — (lim jc)""y.
La dernière égalité est illusoire si le second membre se
présente sous Tune des formes 0", oo^, 1 ^ (symboles d'indétermination.
IL Si les variables x, y. ... tendent vers les limites a, b, ..., la fonction /(x,j;,...) a généralement pour limite /(a, 6,...).
Propriétés des fonctions entières. — Continuité.
95. Théorème. — Pour toutes les valeurs positives ou négatlves de la variable y de module suffisamment grand, une fonction entière réelle a le signe du terme de degré le plus élevé.
Soit la fonction à coefficients réels
F(^) - AoX»" + AiJC™-» + ... + A„.
Ecrivons
et considérons d'abord les valeurs positives de x. Si tous les termes du second membre de (1) sont positifs, F(x) a constamment le signe de AoX™. S'il n'en est pas ainsi, soient
Bi^ ?2 Ëe (o\
les termes négatifs. Le second membre de (1) sera positif si les valeurs absolues des nombres (2) ont une somme
moindre que le premier terme 1 ; on satisfait à cette condition en posant
ou
X > \nB,, X > \/ nB^, ... x > \ nBn,
Soit a la plus grande des quantités V /zB„ V nB^, ....
On voit que F (or) a le signe de Ao pour x ^ a.
Le cas des valeurs négatives de x se ramène au précédent en attribuant des valeurs positives à x dans la fonction F(—x).
96. Théorème. — Pour toutes les valeurs positives ou négatives de la variable, de module suffisamment petit, une fonction réelle a le signe du terme de degré le moins élevé.
Soit la fonction
F(x) = ApXP + Ap+i^^' + ... + A^x".
où Ap y 0, p étant positif ou nul. On a
4il--i + ^x + ...+^x»-p. (1)
r\pA /\p /Ap
Considérons d'abord les valeurs positives de r. Si tous les termes du second membre de (1) sont positifs, f{x) a constamment le signe de ApX^'. S'il n'en est pas ainsi, désignons par
— B,x\ — B^x% ... — BnJc* (2)
les termes négatifs. Le second mefïibre de (1) sera positif, si la somme des valeurs absolues des nombres (2) est moindre que le premier terme 1 ; on satisfait à cette condition en posant
Bior' < -, BaX^ < -, ... BnX* < -, n n n
ou X < — . X < — , ... X <
\l nB, \ nB, \] n
Donc si a désigne la plus grande des quantités \j nB^^
\ nB^^ "• > F W ^ '^ signe de AoX"' pour x ^ -•
Le cas des valeurs négatives se ramène au précédent en considérant la fonction F(— x).
97. Continuité des fonctions réelles. - Si l'on considère successivement deux valeurs d'une variable indépendante ou dépendante, la différence entre la seconde valeur et la première est appelée accroissement de cette variable ; elle peut être positive ou négative. Par exemple, si Xo et jCo + h sont deux valeurs successives de or, Taccroissement de x est A, et celui d'une fonction F (x) est F (jCo + A) — F (xo).
Soit F(x) une fonction ayant pour toute valeur de x comprise entre deux nombres déterminés a ti b (a < b) une valeur finie et déterminée, et soit x^, un nombre appartenant à l'intervalle (a, b). On dit que la fonction F (x) est continue pour x = Xo si C accroissement F (Xo + h) — F (Xo) a pour limite zéro quand h tend vers zéro diaprés une loi quelconque. Autrement dit, à tout nombre positif e, quelque petit qu'il soit, doit correspondre un nombre rj tel, que l'on ait
I f{x, + h) -F(Xo) I <e
pour toutes les valeurs de h comprises — ?y et + ^.
La fonction F (x) est dite continue dans r intervalle (a, b), lorsqu'elle est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, qu'elle est finie et déterminée pour x = 2l et X = b, et que F(a + h), F (b — h) ont pour limites F (a), F(b), h désignant un nombre positif qui tend vers zéro.
Dans l'étude d'une fonction F(x), la variable indépendante x est supposée croître d'une manière continue de — oo à + oo, à la manière de l'abscisse d'un point qui parcourt d'une manière continue tout l'axe des x dans le sens des abscisses positives.
98. Discontinuités. — Une fonction réelle peut être discontinue en devenant imaginaire, infinie, ou en sautant brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie.
Exemples. — I. La fonction
y - yï^^^^
d'après nos définitions, est continue à l'intérieur de l'intervalle (— 1, + 1), où elle est réelle. Elle est discontinue pour X -= -h 1, parce qu'elle est imaginaire pour x = 1 + A ; de même elle est discontinue pour x = — \ comme étant imaginaire pour x = — 1 — A.
