II. La fonction
est dite discontinue pour la valeur x = 1 qui la rend infinie. Elle est continue dans tout intervalle ne comprenant pas l'unité. La courbe représentée par l'équation (1) (fig. 13) est une hyperbole qui admet pour asymptote la droite U'U ayant pour équation x ^ l.
m. La fonction
Fig. 14
OÙ nous supposons a > l, est discontinue par saut brusque pour X ^ L En effet, soit e un nombre positif aussi petit qu'on veut. Pour x^l— Eetx^=l + £, on trouve, respectivement,
co
Donc, lorsque x passe par la valeur 1, y passe brusquement de à 1.
L'équation (2) représente une courbe (fig. 14) qui est formée de deux branches DA, BC, admettant pour asymptote
commune la droite U'U, d'équation j; = -; la droite AD qui
a pour équation x = 1 est tangente en A et en B. (*)
99. Théorème. — La somme, ou le produit, de plusieurs fonctions œntinues, est aussi une fonction continue,
Cette propriété résulte de la définition des fonctions continues et des propositions sur la limite des sommes ou des produits de quantités variables en nombre fini.
Par exemple, si les fonctions F (x) et f (x) sont continues pour X = Xo, on peut écrire les égalités
F (Xo + h) = F (Xo) +8, f{x, + h)=f (Xo) + rj,
où « et 17 tendent vers zéro en même temps que h. Il en résulte
F (Xo + A)/(Xo + A) - F (Xo)/(Xo) = iy F (Xo) + ef{x,) +8rj;
donc l'accroissement du produit F (Xo)/(Xo) tend vers zéro avec l'accroissement de x.
Remarque. — Le quotient -7^ de deux fonctions continues varie d'une manière continue tant que le dénominatenr ne passe pas par zéro.
Une puissance entière d'une fonction continue est ellemême continue. Si m est pair, la racine m^ d'une fonction continue est continue pourvu que Ton considère la racine /ne arithmétique dans un intervalle où la fonction reste positive; si m est impair, cette fonction peut avoir des valeurs positives ou négatives.
100. Théorème. — Toute fonction entière, à coefficients réels, est continue.
Soit la fonction à coefficients réels
F(x) ~ AoX™ + A,x— ^ + ... + A„,
D'abord, à toute valeur réelle et finie de x correspond une valeur de F(x), réelle, finie et déterminée. Ensuite, chacun des termes de F(x) étant une fonction continue, la somme algébrique de ces termes est également (99) une fonction continue.
(•) Le point d'intersection (1,;^) des droites UU' et AD est un centre de
symétrie de la courbe; la figure 14 ne répond pas entièrement à cette propriété.
Les théorèmes suivants se rapportent aux fonctions entières à coefficients réels ou complexes, la variable x recevant des valeurs réelles ou imaginaires.
101. Théorème. - Si une fonction entière F(x) ^annule avec x, on peut assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de X dont le module est inférieur à r, le module de F(x) soit inférieur à une quantité donnée R.
Considérons la fonction entière
dont les coefficients sont réels ou imaginaires et où la variable x reçoi) des valeurs réelles ou imaginaires. Soit Q le module de x supposé < 1, et soit a le plus grand des modules des coefficients. Le module d'une somme étant au plus égal à la somme des modules des parties (13), on a
F(x) I < fl(^ + q' ... + ^") ou < fl
ag
d'où I F(x) I < ,
On a donc | F(x) | < R pour les valeurs de g vérifiant l'inégalité
âp ri R
^ < R, ou ^ <
