II. Soit la fonction à coefficients réels

On a

F(JC) , , A,i , Aj J^ A^]

/*oJC x\q X J\q X /V() X

^ 1 + B,2 + B,2' + ... 4- B^2^, 1 Al

z désignant —, et Bi la fraction ! Le polynôme

X Ao

BjZ -f B2^« 4 ... + B,„z"

a un module plus petit que l'unité pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à la quantité r = 1 : (1 + ^), ^ désignant la plus grande des valeurs absolues de B, B2 ...

En particulier, pour les valeurs réelles de z cotnprises entre - r et + r, le polynôme B j 2 + ... a une valeur comprise entre - 1 et + 1 , et par

F(x) suite le quotient ^ ^ ' est positif. Il résulte de là que si la valeur absolue

AoJc"" de X est supérieure à \ + h^?(x) a le signe de son premier terme (95).

103. Théorème. - Etant donnée une fonction entière F(x), on peut assigner une quantité positive r, telle que pour toutes les valeurs de x dont le module est supérieur à r, le module de F(x) soit supérieur à une quantité donnée R.

Soit la fonction entière à coefficients quelconques

F{x) = AojT + A,x^-' + ... + A„.

Désignons par q le module de la variable x, et par a^, a^, ... a^ ceux des coefficients A^^,, A^, ... A^. Si l'on considère F{x) comme la somme de Ayjc™ et de A^x^-^ + ... + A^, on voit que son module est supérieur ou ^al à la différence des modules de ces deux parties ; donc

I F(x) I ^ flo^" — I A,x"^-^ + AsX»"-' + ... A^ |. (1) D'autre part (12),

I A,x— ^ 4- A.x™-'' + ... + A^ I ^fl,e'"~' + û.e""" + ... + ûm. (2) Des relations (1) et (2) on conclut

I F(x) I > aoQ"^ — a.çT-' — a.Q^^-' ... - a^.

On a donc | F(a:) | > R pour toutes les valeurs de x dont le module vérifie l'inégalité

floe" - û.e"- — use"-' ... — Om-. e - (Cm + R) > 0. (3)

Soit a le plus grand des nombres a^, a^, ... «„,, a„ + R ; on satisfait à l'inégalité (3) si

floe" — 0(6"-' + e"-' + ... + e + 1) > 0,

ce qui revient à

p™ — 1 Q— 1 ette inégalité peut prendre la forme

elle a lieu si, q étant plus grand que l'unité, on a

ûo r > OU ^ > 1 + — •

Q — 1 ûo

Par conséquent, si l'on fait 1 + — = r, le module de F (jc) sera

plus grand que R pour toutes les valeurs de x dont le module est égal ou supérieur à r.