Variables complexes. - Si deux variables complexes

z = x^yi, Z = X + Y/

sont liées l'une à l'autre de manière qu'à toute valeur de la variable indépendante z corresponde une valeur déterminée de Z, on dit que Z est une fonction de z.

Si l'on a recours à la représentation géométrique (9), toute position de z (•) dans le plan x y détermine une position correspondante de Z.

Considérons en particulier une fonction entière

F {z) = Ao^" + Kz^-' + ... + A„, ;

les coefficients Ao, Ai, ... sont réels ou imaginaires, et la variable z reçoit des valeurs de la forme x +^/. Lorsqu'on donne à z l'accroissement A, la fonction reçoit l'accroissement

F (z + A) - F(^) -- Kiz 4- A)" + A, {z f A)™-^ F . . 1 A„,-F(z).

En développant les puissances àt z -\- h par le binôme de Newton, on trouve une expression de la forme:

où Bi, B«, ... sont des fonctions de z. Or (101), pour toutes les valeurs de h dont le module est moindre qu'une certaine quantité r, le module du

(•) Nous disons ici • le point z » au .lieu de " le point qui a pour coordonnées jc, ^^ ».

polynôme Bi A + B» A* + ... reste inférieur à un nombre donné R quelque petit qu'il soit. Autrement dit, le module de F (2 -j- A) - F (z) tend vers zéro en même temps que celui de h. On en conclut, en généralisant la définition de la continuité, que la fonction F (z) est continue avec z.

Géométriquement, si le point z éprouve un déplacement infiniment petit, il en est de même du point Z. Si le premier décrit une courbe d'un mouvement continu, le point Z décrit une seconde courbe d'un mouvement continu.

DÉRIVÉE d'une fonction ENTIÈRE.

105. Définitions. — On appelle dérivée d'une fonction entière

F (X) =-■ AoX"* + A,x"^-^ + ...!- Am-iX \- A„

le polynôme

mA.rX"'-' + {m—l) A.x'^-' + ... h A,„,

qu'on obtient en multipliant chaque terme de F (x) par l'exposant de Xf en diminuant de 1 l'exposant de x et en supprimant le terme constant. On indique une dérivée en ajoutant un accent à la lettre qui désigne la fonction : la dérivée de F(x), de / (jc), de y, ... est désignée par F'(x), / (x), /, ... En particulier, la dérivée d'un monôme Ax^ est pAx^~\

La dérivée de F (x) admet à son tour une dérivée ; c'est la dérivée seconde^ désignée par F" (x). La dérivée de celle-ci est la dérivée troisième F'" (x), et ainsi de suite.

La dérivée /7e d'une fonction de degré m est de degré m — p\ la dérivée m^ se réduit à une constante, et celles d'ordre plus élevé sont nulles.

Exemple. - F(x) -- 7x^ — 5x^ — 12x + 8,

F'(x) ^21x*— lOx — 12, F" (x) = 42x — 10,

F"'(x) - 42, F'v (X) ----- 0, PV)(x) ^. 0, ...

106. Remarques. — I. Si on multiplie une fonction entière par une constante, la dérivée est multipliée par cette constante ; autrement dit, la dérivée de aF(x) est ûF'(x).

II. La dérivée d'une somme de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. La dérivée de F W f / W — 9 Mf par exemple, est F' (x) +/ (x) — g?' (x).

Ces propositions se démontrent très facilement.