Formule de Taylor. - Soit une fonction entière

F (x) = AoX" + k,x^-' + ... + An,; (1)

on a

Cette égalité se vérifie immédiatement pour F(x)^x"; car la formule du binôme donne

En multipliant tous les termes de cette identité par une constante fl on voit que la formule (2) a lieu pour ox™.

Cela posé, si Ton fait ApX^ — «p, on a

A,(X + A)"'-2- Um-2 + j-a'm-2 + T'^'^'"''^ "^ "■ '

h Am-i(x + A) Ut + jtt'i,

Am — Uq.

Faisons la somme de ces égalités en observant que

F(X) - Un, + tt„,, -f- tt„,o ^- ...+//,+ ^0,

F(x) = u\^ + tt\u i + tt',„2 -}-... + ^'1, F"{x) -^ u\+ u\, {- u\, + ...

F(«»)(x) ^ //[i"^ nous aurons la formule proposée.

ApplicatiiNi. — Que devient, pour x =- 2 t A, la fonction

D'après la formule de Taylor,

. F(2 + h) --^ F(2) + AF(2) + ^F"(2) + ^ P"(2).

Les coefficients de F(y) étant entiers, ceux de F"(x) doivent être divisibles par 2, et ceux de F'" (x) par 6, car le développement de F(2 + h) ne peut renfermer de fraction ; de plus

FHx) F"{x)

y est la moitié de la dérivée de P(x), et ^' est le

F"(x) tiers de la dérivée de . En appliquant ces remarques

on trouve:

F(x) = x^ — 4x« + 5x - 1, d'où F(2) - 1 ; F(x) ^ 3x^ — 8x + 5, . F(2) =- 1 ;

donc F(2 + A) = 1 f A + 2h' + A'^

108, Dérivée d'un produit. — La dérivée dun produit est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres facteurs.

Soit, par exemple, un produit de trois fonctions

Nous aurons

cp{x + A) = F(x + A)F,(x -\ h)F,ix + h) ;

d'où en appliquant la formule de Taylor,

<P(x)+h(p\x)+,., --[F(x)-hAF'(x)+...l(F,(x) i AF,(x)+...][F,(x) { AF,(x) + ...].

Identifions les coefficients de A dans les deux membres ; il vient

109. Dérivée d'une puissance. — Pour dériver une puissance de fonction, il suffit de multiplier la puissance par

son exposant et par la dérivée de la fonction et de diminuer de 1 V exposant de la puissance.

En effet, la dérivée du produit de n facteurs égaux à F(x), d'après le théorème précédent, comprend n termes égaux à la dérivée T{x) de chaque facteur multipliée par le produit des /z — 1 autres facteurs.

Application. — La dérivée de

(3x*- — 1)^ (5— 2x)'^'(7x'— 4x+ 2) = 4.3.2x(3x^ - 1 )^(5 — 2xf ÇIx' - 4x + 2) — 5.2(5 — 2xV (3x'' — 1 r (7x^ — 4x + 2) + (14x— 4)(3x2 — lV(5-2x)^

110. Théorème. - La dérivée d'une fonction entière est la limite du rapport de V accroissement de cette fonction à r accroissement de la variable lorsque ce dernier tend vers zéro.

En effet, de la formule

F(x + A) ^ F(x) + AF(x) + j^^F"(x) + ...,

on déduit

W:^^z::Z(-X F'(x)+^PW + ...;

puis lorsque h tend vers zéro :

lim — ^^ — — ^ ^-^= F (x).

111. Dérivée d'une fonction quelconque. — Si F(x) est une fonction quelconque, l'égalité précédente sert à définir la dérivée de F (x) :

On appelle dérivée d'une fonction F(x) to limite du rapport de V accroissement de la fonction à P accroissement de la variable lorsque ce dernier tend vers zéro.

Cette dérivée est égale au coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentée par t équation y - F (x).

Pour démontrer cette propriété, soient x, j; et x |- h, y -\- k les coordonnées de deux points M, M' de la courbe i^fig. 15).

Le coefficient angulaire de la sécante MM' est égal au quotient

Fig. 15.

de la différence k des coordonnées des points M, M', divisée par la différence h de leurs abscisses, ou égal à

Si, M restant fixe, M' se rapproche sur la courbe indéfiniment de M, la sécante MM' tend vers une position-limite MT, qu'on appelle la tangente au point M de la courbe. Le coefficient angulaire de la tangente MT est donc la

limite du rapport -r lorsque h tend vers zéro ; il est donc

égal à la dérivée F(jir).

Soient X, Y les coordonnées courantes; l'équation de la tangente sera

En coordonnées rectangulaires, la dérivée F'(x) est égale à la tangente trigonométrique de l'angle de OX avec la tangente.

1 12. Théorème. — Une fonction entière réelle F(x) est croissante pour x^ 2Lsi F'(a) > ; elle est décroissante si F'(a) < 0. Lorsque F' (a) -- et F" (a) > ou < 0, F (a) est respectivement un minimum ou un maximum.

Soit h une quantité positive aussi petite qu'on veut. On a (107)

Fia + h) -¥{a)=hr{a) + ^ F"(fl) + :j^F"'(fl) + ...

r(a-h)-r{a)^-hF{a-\-^F\a)-j^r\a)-\-...

Neubero. - Algèbre.

Le second membre de chacune de ces égalités ayant le signe du premier terme (96), nous distinguerons plusieurs cas.

V F{a) > 0. Alors

ou F {a — h)< F {a) < F {a + h) ;

donc la fonction croît avec x dans l'intervalle (a — h, a -{-h). 2^ F'(fl) < 0. On trouve

F{a—h) > F {a) > F(fl + A) ;

donc la fonction décroît dans l'intervalle {a — A, a + h). 3o F(a) = 0, F'fl) / 0. Les égalités (1) deviennent

F{a ±h)- F{à) - ^r\a) i ^F"(fl) + ...

Le signe du second membre est celui de F\a) (96). Si r\a) > 0, on a

donc F{x) décroît dans l'intervalle (a — A, a) et croît dans l'intervalle (a, a + h), F{a) est un mininum de F(jc).

Si F"(a) < 0, la fonction croît dans l'intervalle {a — A, a) et décroît dans l'intervalle (a, a -f- A) ; F{a) est un maximum

de F(x).

Remarque. - Si

F'(fl) ^ 0, F"(fl) ^ 0, ... pp-»)(fl) = 0, FP)(fl) / 0,

on a les conclusion suivantes :

lo p impair. La fonction est croissante ou décroissante dans l'intervalle (a - hj a -{- h) suivant que F(p)(fl) > ou < 0.

2o p pair. f(a) est un maximum ou un minimum suivant que F(P)(a) < ou > 0.

La démonstration est la même que ci-dessus.