PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Division d'une fonction entière par x — a,

114. Théorème. — Le reste de la division d'une fonction entière F (x), par un binôme x — 3i est égal à F (a).

Si l'on continue la division jusqu'à ce que l'on arrive à un reste R indépendant de jc, on aura, en désignant par f(x) le quotient, Videntité

Si Ton y remplace x par a, on trouve F(a) = R.

Corollaire. — Pour que f{x) soit divisible par x — a, il faut et il suffit que Von ait F{a) = 0.

Remarque. - On a F(x) = F{a + or - a) ; en appliquant la formule de Taylor à F(a + x - a) on trouve

F(x)=F(a)+(x-a)P(û)+^^^F"(û) +...+ i^^=^F<-)(fl).

Il résulte de là que le reste de la division de F {x) par {x - a)?» où /7 <^ /w, est

F(a)+(^-fl)F(a)+^^F"(fl)+...+ ^^pZ.%x ^^''"'(^

1 1 5. Théorème. — Si une fonction entière F (x) est divisible séparément par (x — a)^, (x — b)^, (x — c)', ..., elle est divisible par le produit

(x — af (x — bY (x — c)\,..

fl, by r... sont des nombres distincts; p^ q^ r... sont les exposants des plus hautes puissances de x — a, jc — *, x — r, ... qui divisent F (x).

Par hypothèse,

?i{x) étant une fonction entière. Remplaçons dans cette égalité X par b ; puisque ¥(b) = 0, il vient

d'où, à cause de 6 — a y 0, F, (é) = 0. Donc f^(x) est divisible par jc — é; si (jc — b)^' est la plus haute puissance de jc — * qui divise Fi(y), on peut poser

FiW = (X - 6)^T,(x), avec Y,(b) ^ 0.

L'identité (1) donne alors

f(x) = (JC - aY{x - b)^'Y^(x). (2)

On a nécessairement q - (f. Car, par hypothèse,

où ç?(*) y 0, et si Ton avait par exemple ^ > ^, on trouverait en égalant les valeurs (2) et (3) de F(y) et en divisant l'identité résultante par (x — by' :

(x - ayF,{x) = {X - b)^-^'ip(x) ;

or, cette égalité est impossible puisque le second membre est nul pour la valeur x = 6 qui n'annule pas le premier membre.

On a donc q ^ cf \ par suite

F(ic) = (X — a)\x - 6)^Fe(x). (3)

Remplaçons x par c ; comme on a F(r) = 0, r — a / 0, c— b / 0, on voit que Y^ic) = 0. FjCx) est donc divisible par X — r; si r' est l'exposant de la plus haute puissance de x — r qui divise FgCx), on a

F,(x) = (X ~ cyf,{x\ d'où F(x) - (X — afix — b)\x — cY f^{x).

On prouverait comme ci-dessus qu'on ne peut avoir r i- f, etc.

Remarque. — On démontre de la même manière le théorème suivant : Si une fonction entière des variables x, y, z est divisible séparément par x — y, y — z, z — x, etc., elle est divisible par le produit (x — y) (y — z) (z — x) . . . .

1 1 6. Quotient de la division de F(x) par x — a.— Soit

F(x) - AoX"» + A,x™-* + ... + Am -,x + A„.

Le quotient est de degré m — l ; représentons-le par

Si R est le reste de la division, nons aurons V identité

AoX" +... + Am =(x — fl) (BoX™-^ + ... + B„-,) + R

En égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres on trouve

Bo ^ Ao, Bi — flBo =" Al, Bg — flBj ^ A2, ...

Dm-i ÛDni-2 ^^ ^m—\i K ûBm-i = Am-

De ces égalités on tire successivement les valeurs de Bo, Bi, Bg, ... Bm-i, R; il en résulte la règle:

Le premier coefficient du quotient est égal au premier coefficient du dividende ; le pe coefficient du quotient s'obtient en multipliant le coefficient précédent du quotient par a et en ajoutant à ce produit le pe coefficient du dividende. Le reste s'obtient en multipliant le dernier coefficient du quotient par a et en ajoutant à ce produit le dernier coefficient du dividende.

Application. — Dans les applications numériques, on écrit sur une première ligne les coefficients de F(x) en tenant compte des lacunes, c'est-à-dire en attribuant le coefficient aux termes qui manquent; sur une seconde ligne, on écrit les coefficients du quotient et le reste calculés d'après la règle précédente.

Soit, par exemple, à diviser 2x^+4x^ — 7x^+8x— 5 parx —2.

Coeff. du dividende: 2, 4, 0, —7, 8, — 5 Coeff du quotient : 2, 8, 16, 25, 58 || 111.

Quotient: 2xM-8x3+ 16x'- + 25x + 58; /?^sfe; 111.

117. Valeur numérique d'un polynôme. — Pour trouver la valeur d'un polynôme F(x) pour x = a, on cherche par la règle (116) les coefficients Bo, B„ ... du quotient et le reste R de la division de F(x) par x — a ; R est le nombre cherché f{d).

Exemple. — Trouver, pour x ^ — 3, la valeur du polynôme

Coeff, du polynôme : 3, 0, —7, 0, 0, —4, 3.

Quotient par X + 3:3, —9, 20, —60, 180, — 544|| 1635.

Le nombre cherché est 1635.

Pour démontrer directement ce procédé, il suffit d'écrire les valeurs explicites des nombres calculés. Désignons ces nombres par Fo F„ ..., Fm, et écrivons x au lieu de a ; nous aurons

* 1 = AqX -f- Al,

Fî = AoX2 + kyX + A2,

im-i = AqX "■ -|- AjX ~ -|- ... -t" Am— 1 ,

* m ~-~ AqX "r AjX -j ... j- Am-lX T* Am.

Les polynômes Fm, Fm-i, Fm 2, ... sont appelés fonctions de Laguerre (Bar-le-Duc, 1833-1886) ou de Ruffini (Valentano 1755 - Modène 1822).

Nombre des racines d'une équation.

On appelle racine d'une équation f(x) -- 0, racine ou zéro de la fonction F(x) toute valeur de x qui annule cette fonction.

118. Théorème fondamental (*). — Toute équation algébrique entière, à coefficients réels ou imaginaires, a au moins une racine réelle, ou imaginaire.

Nous admettons cette proposition comme postulatum.

Remarque. — Le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi (114): Toute fonction entière admet au moins un diviseur de la forme x — a.