Théorème. — Toute fonction entière
F(x) = AoX"» ■\- Aix"'-^ ^- ... + A™-,x + An, peut se mettre sous la forme
Ao(X — fli) (x — flg) ... (x — flm).
En effet, F (x) admettant au moins un diviseur de la forme X — ûi, on peut écrire
Fi(x) étant un polynôme dont le premier terme est AqX'"-'.
F, (a;) admet au moins un diviseur linéaire x — a^\ soit
Fi(Jf) = (jf — ûo)Fo(x).
O On l'appelle souvent Théorème de D'Alembert (Paris, 1717-1783).
En continuant ainsi, on parvient à une fonction du second degré ayant pour premier terme \x^ et se décomposant en Ao(x — flm-i) (x — am)' De ces diverses égalités, on conclut
F (x) = Ao(x — a,) (x — a^) ... (x — a™).
120. Théorème. — Toute équation de dégrèves a m racines. Soit réquation F(x) = AoJc" + AoJc™-' -f ... + A^ - 0.
On vient de trouver
F(x) = Ao (:>c — fli) {x — flg) ... (x — flm).
Supposons d'abord les nombres ai, a^, ... a™ distincts. L'identité précédente montre que l'équation F(x) =- admet pour racines ûi, a^, ... flm et n'admet pas d'autre racine (16).
Supposons ensuite que plusieurs des facteursx— fli,jc— Aj,..., soient égaux entre eux, et soit
F(x) = Ao {,x-'a^^{x-a.)^{x-a^y ...,
la somme des exposants a + /î H y -|- ... étant égale à m. On dit, dans ce cas, que l'équation admet a fois la racine fli, ^ fois la racine a^, ... ; on aura ainsi encore m racines. On ne pourrait avoir une autre décomposition, telle que
car il en résulterait Tidentité
Ao(x-fli)«(x-fl2)/î(x~fl3)>'"-^A(^-ûO«'(x— fl2)/î'{x— fla)/...
ou, si l'on avait a > d \
mais la dernière égalité est impossible puisque le premier membre est nul pour x ---- û!„tandis que le second ne l'est pas.
121. Principe d'identité. — lo S/ une fonction F(x) de degré m s^ annule pour plus de m valeurs de la variable^ tous ses coefficients sont nuls.
En effet, si quelques coefficients de F (x) n'étaient pas nuls, l'équation F (jc) -= admettrait plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré.
20 Deux polynômes F (x), f (x) ne peuvent être égaux pour plus de valeurs de x qu'il n'y a d'unités dans le degré de celui de ces polynômes qui a le degré le plus élevé, sans être complètement identiques.
En effet, supposons
F (jc) - Ao + AiJC + AgX^ + ... AmX»", f{x) = Bo + B,ac 4- 8^x2 + ... B„jc",
m étant égal ou supérieur à n. Si pour m + 1 nombres distincts ai, Og, ... am+i on pouvait avoir
réquation
F (x) -/(x) = Ao — Bo -!- (A, — B,) jc + (A2 - B,)xM- ... ==
aurait plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré; ce qui exige
122. Théorème. — Si une équation algébrique à coefficients réels admet p fois une racine imaginaire a + /îi, elle admet aussi p fois la racine conjuguée a — ^i.
Soit l'équation F(x) -= 0, à coefficients réels. On a (24)
F(a + ^0 = P + QPlf F(« — i^O == P — Qfii]
a + pi étant racine, on a nécessairement P =- 0, Q = 0, d'où l'on conclut F (a — /î/) = 0, de sorte que a — pi est également racine.
F{x) étant divisible par x — (a + pi) et par x — (a — pi) est divisible par leur produit ou par (x — ay + p^ ; le quotient est un polynôme réel Fi(x), et l'on a
F(x)^[(x-a)« + ^«]Fi(x).
Si a + pi est racine multiple de F(x), il est encore racine de F, (x) ; donc a — pi, d'après ce qui vient d'être démontré, est également racine de Fi (x), et l'on peut écrire
F,{x) = [(x-ar h^^lF^ix), d'où F(x)=[(x-a)^ + ^^]«Fax)...
En continuant ainsi, on trouve, dans le cas où a + pi est p fois racine de F(x),
Donc a — pi est au moins p fois racine. Il ne peut être plus de p fois racine ; l'imaginaire conjuguée a + pi serait au moins p fois racine, ce qui est contraire à l'hypothèse.
123. Théorème. — Un polynôme réel ¥ (x) est un produit de facteurs réels du premier ou du second degré.
Soient a, b, ... / les racines de Téquation F (x) = 0. On a
F(jc) = Ao(x — a) (x — b) ... (x — /).
Si toutes les racines sont réelles, le théorème est démontré. Si p racines sont égales à a + ^/, p autres sont égales à a — fiif et le produit des facteurs correspondants de F (x) est
Relations entre les coefficients et les racines
d'une équation.
124. Théorème. — Soient a, b, ..., 1 les racines de U équation F(x) = x™ + AiX™-» + A2X'"-2 + ... + Am - 0; on a les relations
a + * + r +... + /=-— Aj,
a* + û^ + ... + kl = Ag,
abc + abd + .„ + Ikl = — A3,
abc ... kl = (— l)™Ara.
En effet, F(x) = (x — a) (x — b) (x — c) ... (x — /), et le dernier produit a pour développement
x" — x™-ï Za + x™-22iz* — x'^-^Iabc + ... + (— D'^abc.l.
125. Remarque. — Les relations (1), au nombre de /w, ne peuvent servir à déterminer une des racines en particulier. En effet, si on élimine é, r, ... /, on obtient une équation en a ; soit (p{a) = cette équatfon. Comme les relations (1) sont symétriques par rapport aux racines, Télimination de a, r, ... / doit conduire à Téquation (p{b) = 0. En continuant ainsi on voit que l'équation q){x) = a pour racines a, *, ... /; elle est donc identique à l'équation proposée F{x) = 0.
Cette conclusion peut être vérifiée d'une manière bien simple. Car, si on ajoute les égalités (1) après les avoir multipliées respectivement par — a»"-', fl™-^^ — a"»-^^ ,^, (— 1)™, on trouve
— a™= Aia*"-ï + Aafl™-^ + ...4- Am-i^ + Am, ou F(a) = 0.
126. Application. — Les relations (1) facilitent la résolution de certaines questions sur les racines d'une équation. Soit, par exemple, à trouver la condition nécessaire pour que l'équation
jc^ + /^Jc^ + ^y + r =
ait une racine égale à la somme des deux autres. Si a, b, c sont les trois racines, on a
* + r = fl, a-\-b + c=— Pfab-\-ac-]rbc = q, abc = — r.
Les deux premières égalités donnent
en exprimant que — ^ est la racine de l'équation proposée,
on trouve la condition cherchée:
p^ — 4pç + 8r - 0.
Les valeurs de * et r résultent des égalités
donc é et r sont racines de l'équation du second degré
Principe de substitution. — Conséquences.
127. Théorème. — Soit F(x) une fonction réelle, continue dans l'intervalle (a, b). Si F(a) et f{b) sont de signes contraires, r équation F(x) -= a au moins une racine comprise entre a et b.
En effet, si x varie d'une manière continue depuis la valeur x = a jusqu'à la valeur x = b, F(x) variera aussi d'une manière continue en passant de la valeur F{a) à la valeur ¥{b) qui a un signe contraire. A cause de la continuité, F(jc) ne peut changer de signe qu'en passant par la valeur zéro.
La construction de la courbe (fig. 17) représentée par l'équation y = Y(pG) rend le théorème intuitif. Aux abscisses a et é correspondent deux points A et B (ou B et C) situés de
FiR. 17.
part et d'autre de Taxe OX ; la courbe restant à une distance finie de cet axe et offrant un trait ininterrompu entre A et B (ou entre B et C), Tare AB (ou BC) doit traverser une ou plusieurs fois (un nombre impair de fois) Taxe OX ; l'abscisse de chacun des points d'intersection avec OX est racine de F(x).
Remarque. — Une fonction réelle F (x) qai est continue dans r intervalle (a, b), passe par toutes les valeurs intermédiaires entre F(a) et F(b) quand x varie d'une manière continue depuis la valeur x = 2l jusqu'à la valeur x = b.
La courbe représentative de la fonctfon rend encore cette proposition intuitive. D'ailleurs, celle-ci comprend le théorème précédent comme cas particulier.
128. Application. — I. Soient Xj, Xg, ... x^ six nombres inégaux ; supposons JCi > x^ > Xg > x^ > x^ > Xg. L'équation
F(x)=(x— Xi) (x— x.3)(x— Xs) + y^{x—x^){x—x,){x — x^) =
a trois racines réelles. En effet,
F(xO -= y\x, — x.,)(x,-x,)(Xi-X6) > 0, F(X2) ^ (x, — Xi) (x, — X3) (Xo — X5X ;
donc l'équation F(x) = admet au moins une racine comprise entre x^ et x,. On démontre de même qu'il existe au moins une racine entre X3 et X4, et au moins une entre x^ et JCg. Comme l'équation n'a que trois racines, chacun des intervalles (x,, Xg), (Xg, x^\ {x^, x^) comprend une seule racine.
