II. Toutes les racines de Téquation
AS R2 î 2
F(jc) =-^^^ + -^ + ... + -^- M^ = ^ x — a x — b X — l
sont réelles. Car, s\ a < b < c ... < l, F(jc) est une fonction continue dans Tintervalle {a + e, b — e), e désignant un nombre positif aussi petit qu'on veut ; or
puisque les termes — , — dont les valeurs sont aussi grandes
qu'on veut, donnent leur signe ; par conséquent, F (x) s'annule au moins une fois dans l'intervalle (û + €, é — e). On verrait de même que F (x) a au moins une racine dans chacun des intervalles (b, c), ... (A, l). Enfin, comme F(/ + «) > 0, F(oo) <;0, il existe au moins une racine de ¥{x) supérieure à /. Le nombre des racines réelles dont l'existence est certaine, est précisément égal au degré de l'équation F (d?) -= rendue entière; donc, etc.
On peut démontrer autrement que l'équation proposée n'a pas de racines imaginaires. En effet, si a + Pi est racine, a — fii est également racine ; or de
on tire, par soustraction, 2A' (------. —^^ 0, ou 2ip2\ ^'-^- 0,
égalité impossible, si p / 0.
129. Théorème. — Si deux quantité a et fi comprennent entre elles un nombre impair de racines d^une racine algébrique réelle f{x) = 0, ces quantités^ substituées à x dans F(x), donnent des résultats de signes contraires; si elles comprennent un nombre pair de racines, les résultats de substitution sont de même signe.
Supposons que Tintervalle (a, p) comprenne p racines Uf bf ... g. Nous pouvons écrire
q) (x) étant une constante ou un polynôme. Dans le second cas,
d'où
F (a) a — fla — p a — g (p{a)
FW ~ T^^ T^b "• T^g W)
(p(a)tiq){p) sont de même signe, sans quoi (127) l'équation q){x) = aurait au moins une racine entre a et /î, et û, ô, ...^ ne seraient pas toutes les racines de f [x) comprises entre a et p. Les p fractions
sont négatives ; donc le quotient F (a) : F ()8) est positif ou négatif suivant que p est pair ou impair ; ce qui démontre le théorème.
Si a et /î ne comprennent entre eux aucune racine de F {x)f F (a) et F()8) sont de même signe.
Corollaire. — Lorsque x variant d'une manière continue passe par une racine de V équation F (x) - 0, la fonction F (x) change de signe ou non, suivant que le degré de multiplicité de cette racine est impair ou pair.
Soit a une racine d'ordre /; ; si c désigne un nombre aussi petit qu'on veut, l'intervalle {a — «, a -\- e) comprend p racines égales à a. Donc f (a — e) et F (a + e) sont de signes contraires ou de même signe suivant que p est impair ou pair.
1 30. Théorème. — 5/ deux nombres a et p, substitua à x dans le premier membre dune équation algébrique réelle, donnent des résultats de signes contraires, ces nombres comprennent entre eux un nombre impair de racines de V équation ; si les résultats de substitution ont le même signe, a et p comprennent un nombre pair de racines ou rien comprennent aucune.
Ce théorème est le réciproque du précédent.
131. Théorème. — !<> Toute équation algébrique de degré impair, à coefficients réels, a au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.
2o Toute équation algébrique de degré pair, à coefficients réels et dont le dernier terme est négatif a au moins deux racines réelles, Vune positive^ Vautre négative.
On suppose le premier terme de Téquation positif et le terme indépendant différent de zéro.
lo Soit réquation de degré impair
FU) = Kx^ + Aijc™-^ + ... + A„ = 0.
On a (95)
F(— oo) =— oo, F(0) = Am, F( + cx)) = + c5o;
donc, suivant que Am est positif ou négatif, Téquation a un nombre impair de racines entre — oo et 0, ou entre et + oo.
2o Si l'équation est de degré pair, on a
F(— cx)) .^ + oo, F(0)-A„,, F(+c>o)- +CX);
donc , si Am < 0, Téquation a un nombre impair de racines entre — oo et 0, et un nombre impair de racines entre et + oo. Si Am > 0, réquation a un nombre pair de racines positives et un nombre pair de racines négatives, étant considéré comme un nombre pair.
Exercices et notes.
